Задача на непрерывность

[Полосин]

Это пока что лишь общая идея. Если первой красной точки слева не существует, то слева получается сегмент синих точек. Ему отвечает сегмент красных. Далее рассмотреть новый отрезок с концами в граничных точках.

[ewert]

так нет идеи-то. Что такое "красные точки"?

[gris]

Я за идею ув. Полосина.
Действительно, для каждого $x$ проведём горизонтальную прямую $y=f(x)$. Эта прямая пересекает график в конечном и чётном числе точек. Если абсциссы половины точек больше или равны $x$, то $x$ красим в синий цвет. Иначе - в красный. Точка 0 будет синей. Точка 1 красной.

[ewert]

так дёшево от этого не отделаешься. На любом фиксированном уровне может быть какая угодно комбинация интервалов положительности, отрицательности и собственно экстремумов. Ровно ничего из этого не следует.

[gris]

Я просто уяснил для себя алгоритм раскрашивания. Я бы только стал рассматривать непрерывные на отрезке функции, график которых имеет конечное пересечение с любой гоизонтальной прямой (без требования чётности) и добавил ещё жёлтые точки. Без всякой иронии. В которых справа и слева одинаковое количество точек пересечения.
А вообще я до сих пор считаю, что у таких функций конечное число экстремумов.

[ewert]

да экстремумов-то на каждои конкретном уровне -- конечно, конечное количество. Просто по условию задачи. Только ровным счётом ничего непосредственно отсюда не следует. И уж во всяком случае не следует (это чтоб отсечь ненужныя ветки), что количество экстремумов по всем мыслимым уровням ограничено. Это просто неверно.

[gris]

Я вообще предлагаю рассматривать пилообразныя ломаныя (простите за подражание).
Завтра задумаюсь над задачей. Сегодня совсем недосуг было.
А вот ещё, навеяло просто: правда ли, что у непрерывной функции не более чем счётное число нулей?

[Brukvalub]

gris в сообщении #184952 писал(а):

А вот ещё, навеяло просто: правда ли, что у непрерывной функции не более чем счётное число нулей?

А сколько нулей у функции, тождественно равной нулю?

[gris]

Brukvalub, Вы правы. Просто мы ведём разговор о непрерывных функциях, не равных константе ни на одном интервале. Я забыл уточнить.
и Вы, ewert, правы. $f(x)=x+\frac x2 \sin \frac1x$, доопределённая нулём в нуле, имеет счётное количество максимумов.
Может по индукции попробовать? Или просто взять и подумать не торопясь.

[id]

А если что-нибудь вроде $d(x,M)$, где $M$ - канторово сов. множество, а $d$ -расстояние до него?

[Юстас]

Можно попытаться формализовать рассуждения про экстремумы. Предположим, каждое значение принимается конечное четное число раз. Пусть $M=\max_{[a,b]}f(x), \ m=\min$. Рассмотрим функцию $k: [m,M]\subset \mathbb{R}\to \{0,1\}\times\mathbb{N}\times\{0,1\}$, и пусть $f$ принимает свой минимум $j$ раз. Положим $k(m)=(1,(j-1)\mod 2,1)$, где первая единица обозначает, что $f(a)$ лежит выше $m$(случай совпадения рассматривается аналогично), $j-1$ - минимально возможное количество локальных максимумов, которые мы встретим, двигая прямую $y=y_0$ от $y_0=m$ до $y_0=M$, последняя единица - индикатор для $f(b)$.
$k(x)$ изменяет свое значение если мы встречаем локальный минимум или максимум, либо концы интервала, причем общее количество встреченных "особых" точек для каждого уровня четно, так что сумма координат нашей "вектор-функции" всегда нечетна. Но $f(M)=(0,0,0)$ - противоречие.

[ewert]

Что такое "минимальное количество локальных максимумов в зависимости от $y$"?

[Юстас]

Видимо, мне не хватает более серьезного аппарата теории множеств, все равно получается "на пальцах". Но идея простая - если минимум $m$ достигается в 10 точках, то по пути от $m$ до $M$ мы встретим хотя бы 9 локальных максимумов. На каждом уровне количество "особых точек" четно, каждый встреченный минимум увеличивает число "ожидаемых" максимумов на 1, максимум - уменьшает на 1. Соответственно, на каждом уровне значение второй координаты не меняется, исключение - если встречаем значения в концах отрезка.
Заранее соглашусь, что это на решение не тянет.

[ewert]

Юстас в сообщении #185018 писал(а):

каждый встреченный минимум увеличивает число "ожидаемых" максимумов на 1, максимум - уменьшает на 1

Это, может, и прошло бы, если бы имело смысл само понятие "ожидаемого количества экстремумов". Т.е. если бы общее количество экстремумов было бы конечным. Т.е. если бы функция была кусочно-монотонной. А это условиями задачи не предусмотрено.

[gris]

Я предлагю альтернативную формулировку.

Некто начинает заштриховывать прямую карандашом, не останавливаясь и не отрывая его от бумаги. Доказать, что в любой момент времени найдётся точка, которой карандаш касался нечётное число раз.

(мгновенная остановка при смене направления не считается)

Даже так: Имеется карандаш, который перекрашивает точки отрезка из красного в синий и из синего в красный при покидании этой точки. Некто ставит карандаш на синий отрезок и пытается удалить все появляющиеся красные точи. . Доказать, что ему придётся отрывать карандаш от бумаги.