2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 
Сообщение08.02.2009, 16:57 
Это пока что лишь общая идея. Если первой красной точки слева не существует, то слева получается сегмент синих точек. Ему отвечает сегмент красных. Далее рассмотреть новый отрезок с концами в граничных точках.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2009, 16:59 
так нет идеи-то. Что такое "красные точки"?

 
 
 
 
Сообщение08.02.2009, 20:41 
Аватара пользователя
Я за идею ув. Полосина.
Действительно, для каждого $x$ проведём горизонтальную прямую $y=f(x)$. Эта прямая пересекает график в конечном и чётном числе точек. Если абсциссы половины точек больше или равны $x$, то $x$ красим в синий цвет. Иначе - в красный. Точка 0 будет синей. Точка 1 красной.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2009, 21:19 
так дёшево от этого не отделаешься. На любом фиксированном уровне может быть какая угодно комбинация интервалов положительности, отрицательности и собственно экстремумов. Ровно ничего из этого не следует.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2009, 22:45 
Аватара пользователя
Я просто уяснил для себя алгоритм раскрашивания. Я бы только стал рассматривать непрерывные на отрезке функции, график которых имеет конечное пересечение с любой гоизонтальной прямой (без требования чётности) и добавил ещё жёлтые точки. Без всякой иронии. В которых справа и слева одинаковое количество точек пересечения.
А вообще я до сих пор считаю, что у таких функций конечное число экстремумов.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2009, 22:55 
да экстремумов-то на каждои конкретном уровне -- конечно, конечное количество. Просто по условию задачи. Только ровным счётом ничего непосредственно отсюда не следует. И уж во всяком случае не следует (это чтоб отсечь ненужныя ветки), что количество экстремумов по всем мыслимым уровням ограничено. Это просто неверно.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2009, 23:09 
Аватара пользователя
Я вообще предлагаю рассматривать пилообразныя ломаныя (простите за подражание).
Завтра задумаюсь над задачей. Сегодня совсем недосуг было.
А вот ещё, навеяло просто: правда ли, что у непрерывной функции не более чем счётное число нулей?

 
 
 
 
Сообщение08.02.2009, 23:34 
Аватара пользователя
gris в сообщении #184952 писал(а):
А вот ещё, навеяло просто: правда ли, что у непрерывной функции не более чем счётное число нулей?
А сколько нулей у функции, тождественно равной нулю?

 
 
 
 
Сообщение09.02.2009, 00:50 
Аватара пользователя
Brukvalub, Вы правы. Просто мы ведём разговор о непрерывных функциях, не равных константе ни на одном интервале. Я забыл уточнить.
и Вы, ewert, правы. $f(x)=x+\frac x2 \sin \frac1x$, доопределённая нулём в нуле, имеет счётное количество максимумов.
Может по индукции попробовать? Или просто взять и подумать не торопясь.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2009, 00:57 
А если что-нибудь вроде $d(x,M)$, где $M$ - канторово сов. множество, а $d$ -расстояние до него?

 
 
 
 
Сообщение09.02.2009, 07:01 
Можно попытаться формализовать рассуждения про экстремумы. Предположим, каждое значение принимается конечное четное число раз. Пусть $M=\max_{[a,b]}f(x), \ m=\min$. Рассмотрим функцию $k: [m,M]\subset \mathbb{R}\to \{0,1\}\times\mathbb{N}\times\{0,1\}$, и пусть $f$ принимает свой минимум $j$ раз. Положим $k(m)=(1,(j-1)\mod 2,1)$, где первая единица обозначает, что $f(a)$ лежит выше $m$(случай совпадения рассматривается аналогично), $j-1$ - минимально возможное количество локальных максимумов, которые мы встретим, двигая прямую $y=y_0$ от $y_0=m$ до $y_0=M$, последняя единица - индикатор для $f(b)$.
$k(x)$ изменяет свое значение если мы встречаем локальный минимум или максимум, либо концы интервала, причем общее количество встреченных "особых" точек для каждого уровня четно, так что сумма координат нашей "вектор-функции" всегда нечетна. Но $f(M)=(0,0,0)$ - противоречие.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2009, 08:52 
Что такое "минимальное количество локальных максимумов в зависимости от $y$"?

 
 
 
 
Сообщение09.02.2009, 09:37 
Видимо, мне не хватает более серьезного аппарата теории множеств, все равно получается "на пальцах". Но идея простая - если минимум $m$ достигается в 10 точках, то по пути от $m$ до $M$ мы встретим хотя бы 9 локальных максимумов. На каждом уровне количество "особых точек" четно, каждый встреченный минимум увеличивает число "ожидаемых" максимумов на 1, максимум - уменьшает на 1. Соответственно, на каждом уровне значение второй координаты не меняется, исключение - если встречаем значения в концах отрезка.
Заранее соглашусь, что это на решение не тянет.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2009, 10:29 
Юстас в сообщении #185018 писал(а):
каждый встреченный минимум увеличивает число "ожидаемых" максимумов на 1, максимум - уменьшает на 1

Это, может, и прошло бы, если бы имело смысл само понятие "ожидаемого количества экстремумов". Т.е. если бы общее количество экстремумов было бы конечным. Т.е. если бы функция была кусочно-монотонной. А это условиями задачи не предусмотрено.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2009, 10:38 
Аватара пользователя
Я предлагю альтернативную формулировку.

Некто начинает заштриховывать прямую карандашом, не останавливаясь и не отрывая его от бумаги. Доказать, что в любой момент времени найдётся точка, которой карандаш касался нечётное число раз.

(мгновенная остановка при смене направления не считается)

Даже так: Имеется карандаш, который перекрашивает точки отрезка из красного в синий и из синего в красный при покидании этой точки. Некто ставит карандаш на синий отрезок и пытается удалить все появляющиеся красные точи. . Доказать, что ему придётся отрывать карандаш от бумаги.

 
 
 [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group