некорректность зарачи Коши для параболического уравнения

[pimeja]

Вот уже во второй статье читаю, что некорректность зад. Коши для параболического уравнения --- общеизвестный факт. Укажите пожалуйста откудо можно прочитать доказательство.

[Gafield]

О чем конкретно идет речь? При некоторых условиях (в большом количестве пространств) задача Коши корректна. Может тут имеется в виду неединственность, если не требовать некоторых условия на бесконечности или обратно прараболические уравнения?
Или что начальные данные задаются на характеристике и ситуация отличается от нехарактеристической задачи Коши?

[pimeja]

Вставляю формулировку задачи
$$ \left\{ \begin{array}{lll} &\partial_t u - \Delta u = 0, \qquad &\mbox{в } \Omega\times(0, T),\\ &u = \varphi, \qquad &\mbox{на } \Gamma_0\times(0, T),\\ &\frac{\partial u}{\partial \nu} = \psi, \qquad &\mbox{на } \Gamma_0\times(0, T),\\ &u(x, 0) = 0, \qquad &\mbox{на } \Omega. \end{array} \right. $$ $\partial \Omega=\Gamma_0 \cup \Gamma_1 \in \mathbb{R}^2$. $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$.

О пространствах скромно промолчали. Но условлия Коши заданы на части границы области тоесть имеет место обратная задача.

[ewert]

какая-то абсолютно извращённая постановка задачи. Кто гамма, кто ноль, кто единица, кто ваще что?...

А по существу примерно так. Формальное решение сводится примерно к $e^{t\Dellta}u_0$. Оператор в показателе отрицателен, поэтому сама экспонента есть ограниченный оператор при положительных временах, поэтому решение есть при "всех" начальных данных. А вот если время отрицательно, то та же экспонента не ограничена и, следовательно, решение, конечно, тоже есть, и даже на плотном множестве, но -- не для всех исходных условий, далеко не для всех...

[pimeja]

В первоначальной формулировке допустил ошибку, вместо
$\Omega\in \mathbb{R}^2$, $\partial\Omega=\Gamma_0 \cup \Gamma_1$.
написал
$\Omega=\Gamma_0 \cup \Gamma_1 \in \mathbb{R}^2$.

Извините. Исправил.

$\Omega$ --- двузв'язная область, $\Gamma_0$ -- внешняя, а $\Gamma_1$ внутрення границы. Под некорректностю пониметься отсутствие непрерывной зависимости от начальных условий.

[ewert]

Тогда это уже на что-то похоже. В детали вникать лень, но см. выше -- экспонента для отрицательных времён не ограниченна, а значит, и на какую бы то ни было непрерывность по входным данным расчитывать было бы наивно.

[Gafield]

pimeja в сообщении #184695 писал(а):

О пространствах скромно промолчали. Но условлия Коши заданы на части границы области тоесть имеет место обратная задача.

Я это почему?

Для некорректности неплохо бы все же указывать пространства. А вообще, некорректность может быть по разным причинам. Например, из-за отсутствия существования. Скажем, если $\Gamma_0=\{x_2=0\}$, а $\Gamma_1=\{x_2=1\}$, а граничные функции аналитичны, то, по теореме Коши-Ковалевской, локально решение существует. Однако совсем не очевидно, что его можно продолжить до другой границы области. Или можно взять фундаментальное решение (источник тепла в точке $x=(0,1/2)$, $t=0$). Тогда граничные функции будут гладкими, а фундаментальное решение не ограничено в $\Omega$.

Ситуация такая же как для задачи для уравнения Лапласа в круге. Если задавать только условие Дирихле, задача имеет единственное непрерывное решение. Если задать еще и нормальную производную, то решение может не продолжаться во всю область.