Связь между гармониками

[Munin]

peregoudov в сообщении #162973 писал(а):

Ну да, если автор темы не хочет формулировать задачу, остается сделать это за него.

Не хотелось бы, чтобы автор темы считал меня сочувствующим вашим грубостям. Он сообщил уже достаточно много, чтобы вы поутихли, но вы не желаете. Кроме того, ваше уравнение $-\psi''+U(x)\psi=E\psi$ не является ДУЧП.

[peregoudov]

Ни фига себе грубости! Я, в отличие от автора темы (и единственный в теме), не поленился привести полную ссылку на книжку Ярива, не поленился заглянуть в нее и убедиться, что про уравнения с периодическими коэффициентами там нормально написано. Я на протяжении трех страниц темы пытаюсь получить от автора внятную постановку задачи. Если уж на то пошло, то грубости начались вот здесь. Если AlexNew действует Парджеттеру на нервы, это не повод высыпаться на мне. Что же касается ДУЧП (еще один шифровальщик, блин), то ведь ясно сказано: пример рафинированной постановки. Именно к такому уравнению (если нормально ставить задачу и решать) все и сведется.

Я вот перечитал тему. Думаю, постановка, описанная в моем последнем посте, угадано верно. Действительно, для возмущения получается линейное уравнение с периодическими коэффициентами. А то, что делал автор до сих пор --- видимо, считал эту периодическую неоднородность "слабой" (не имеет отношения к исходной линеаризации!) и крутил теорию возмущений. Непонятно только, почему нельзя было это нормально описать, а нужно было вместо этого разводить срач.

Остается непонятным и вопрос, что именно "не соответствует эксперименту". Если имеются в виду запрещенные зоны (с чего бы автор упирает на непрерывность спектра?), то их можно получить и в рамках теории возмущений по "силе неоднородности" (правда, не в конечном порядке, а неким пересуммированием "наиболее сингулярных членов" или, альтернативно, хитрым выбором начального приближения). Что еще может быть? Генерация высших блоховских гармоник? Тут можно долго гадать.

[Munin]

peregoudov в сообщении #163373 писал(а):

Я, в отличие от автора темы (и единственный в теме), не поленился заглянуть в нее (книжку Ярива)

Не единственный. Вы зацикливаетесь в самомнении. Это опасно и практически неизлечимо, если только вы не найдёте внутренних сдерживающих мотивов.

peregoudov в сообщении #163373 писал(а):

Что же касается ДУЧП (еще один шифровальщик, блин)

Вы считаете это сокращение необщепринятым?

peregoudov в сообщении #163373 писал(а):

Я вот перечитал тему. Думаю, постановка, описанная в моем последнем посте, угадано верно.

А напрасно. Верно она "угадана" в постах автора темы вверху 2-й страницы. Как вы их умудряетесь не перечитывать - мне неизвестно.

peregoudov в сообщении #163373 писал(а):

Остается непонятным и вопрос, что именно "не соответствует эксперименту".

Боюсь, не вы с вашей агрессией (уже давно немотивированной) сможете получить ответ на этот вопрос.

[peregoudov]

О, Мунин, да Вы эволюционируете! Вот уже начали редактировать цитаты, полностью искажая их смысл. Успехов!

[photon]

photon:

[Munin]

peregoudov в сообщении #163773 писал(а):

О, Мунин, да Вы эволюционируете! Вот уже начали редактировать цитаты, полностью искажая их смысл. Успехов!

Я мог бы ответить на ваши хамские высказывания и без редактирования. Это было бы скучно и многословно, только и всего. Не ожидал, что вы уже не способны адекватно реагировать на элементарное предоставление удобства читателю. Успехов вашей паранойе!

Добавлено спустя 54 секунды:

photon
На этом заканчиваю офтопик. Жду ответа автора темы.

[Парджеттер]

Munin, прошу меня простить, я сейчас, к сожалению, не имею возможности подробно ответить. Я думаю вопрос о том, как именно линеаризовать задачу заслуживает пристального внимания и я над ним думал в свое время.

Я думаю, что после 20го я смогу дать более или менее развернутый ответ.

[barga44]

Автор считает, что нет размазывания волнового пакета из-за вязкости.
В потоке нет вихрей.
Не учитывается уравнение энергии.

[peregoudov]

Вообще-то, прежде чем линеаризовать уравнение, следовало бы нормально поставить нелинейную задачу.

[Munin]

Парджеттер в сообщении #165759 писал(а):

Munin, прошу меня простить, я сейчас, к сожалению, не имею возможности подробно ответить. Я думаю, что после 20го я смогу дать более или менее развернутый ответ.

Нормально.

[Парджеттер]

Как и обещал (с учетом сдвига даты, указанной в моей подписи), продолжаем разговор, как говорил Карлсон.

Munin писал(а):

Парджеттер в сообщении #162696 писал(а):

Конечно. Но в акустическом приближении будет линейное.

У меня складывается такое ощущение, что физику задачи вы теряете именно при линеаризации. То есть линеаризовать, конечно, задачу надо (или привести её к слабонелинейному виду), но не стандартно по накатанной дорожке, а проверяя каждый шаг на физическую оправданность в конкретной задаче. Получится что-то рядом со стандартной дорожкой

Вероятно.
Была еще такая идея - решить задачу с фоновым течением. То есть сначала решить задачу (стационарную) течения, скажем, по такой трубе, а затем наложить на нее малые возмущения. Но для этого надо бы получить в хорошем виде фоновое течение, а оно, как известно, даже в квазиодномерном случае дает уравнение Гюгонио из которого явно вытащить зависимость, скажем, скорости, от координаты нельзя.

Munin писал(а):

Ну вот, например, я разовью свою гофрированную трубу:

здесь $v_x=\mathrm{const}(y),$

Я бы рассматривал цилиндрические координаты. Впрочем, раз Вы не трогаете уравнение неразрывности, это не имеет значения.

Munin писал(а):

$$y_0\ll y\Rightarrow v_y=y\frac{dy_0}{dx}v_x,$$

А что означает условие $y_0\ll y$? Я бы понял, если бы $y_0\ll 1$ (если смотреть на Ваш рисунок).

Munin писал(а):

Теперь можно приступать к линеаризации, наверное... Но я бы обратил внимание, что зависимость от формы стенки осталась во втором уравнении, которое, к тому же, включает только одну неизвестную функцию (от остальных я избавился приближениями, о корректности которых надо ещё потом позаботиться). Перепишу его в более компактных обозначениях:
$f'u_t+f'uu_x+f''u^2+f'^2u^2=0.$

А вы линеаризацию проводите также, как я предложил, или как-то иначе?

Munin писал(а):

Насколько это решение отвечает эксперименту?
Как бы это уравнение привести к системе отсчёта среды?..

Эксперимент показал, что частота прямо пропорциональна скорости вдува среды и обратно пропорциональна периоду структуры. Примерно то же хотелось бы получить и на аналитической модели.

[peregoudov]

Как работает свистулька?
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 356820/0#0

[Munin]

Как же я пропустил тут продолжение разговора... надо будет ответить...

[Парджеттер]

Munin писал(а):

Ну вот, например, я разовью свою гофрированную трубу:

здесь $v_x=\mathrm{const}(y),$

$$v_y(y=y_0)=\frac{dy_0}{dx}v_x,$$

$$y_0\ll y\Rightarrow v_y=y\frac{dy_0}{dx}v_x,$$

$$\frac{\partial\rho}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{\partial p}{\partial y}=0,$$

и поэтому двумерные уравнения Эйлера становятся (если я не напортачил, в чём я совсем не уверен, не привык к движущейся среде):

$$\frac{\partial v_x}{\partial t}+\frac{\partial v_x}{\partial x}v_x=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$$

$$y\left[\frac{dy_0}{dx}\left(\frac{\partial v_x}{\partial t}+\frac{\partial v_x}{\partial x}v_x\right)+\frac{d^2y_0}{dx^2}v_x^2+\left(\frac{dy_0}{dx}\right)^2v_x^2\right]=0$$

Теперь можно приступать к линеаризации, наверное... Но я бы обратил внимание, что зависимость от формы стенки осталась во втором уравнении, которое, к тому же, включает только одну неизвестную функцию (от остальных я избавился приближениями, о корректности которых надо ещё потом позаботиться). Перепишу его в более компактных обозначениях:
$f'u_t+f'uu_x+f''u^2+f'^2u^2=0.$
Дальше линеаризация даёт "табличное" уравнение первого порядка, решение которого есть, например, в В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин, Справочник по дифференциалъным уравнениям с частными производными первого порядка, М.: ФМЛ, 2003 (вообще рекомендую серию Полянина).
$f'u_t+f'u^{(0)}u_x=-(f''+f'^2)u^{(0)}^2.$

$$\boldsymbol{a\frac{\partial w}{\partial x}+b\frac{\partial w}{\partial y}=f(x)}$$

$$w=\frac{1}{a}\int f(x)dx+\Phi(bx-ay)$$

Насколько это решение отвечает эксперименту?
Как бы это уравнение привести к системе отсчёта среды?..

Munin.
Я сейчас вернулся к этой задаче и хотел бы сделать еще один комментарий по этому поводу. Кое-что я подправил в своем предыдущем комментарии (думаю, на это право имею в силу отсутствия на него ответов).

Во-первых, система допущений

1. $$v_x=\mathrm{const}(y), \Rightarrow \frac{\partial v_x}{\partial y}=0$$
2. $$y_0\ll y\Rightarrow v_y=y\frac{dy_0}{dx}v_x,$$
   - эту мистику я совершенно не понимаю. К тому же, по такой формуле получается, что на оси скорость $v_y$ максимальна, чего быть не должно - она должна обнулиться. Таким образом, вероятно, Вы имели в виду
   $$v_y=(1-y)\frac{dy_0}{dx}v_x$$
   , то есть скорость распределена линейно по сечению в каждом сечении. Но я так и не понял - это некое волевое решение или следует из каких-то разложений?
3. $$\frac{\partial\rho}{\partial y}=0 \Rightarrow \frac{\partial p}{\partial y}=0,$$

К чему добавляется граничное условие непротекания

$$v_y(y=y_0)=\frac{dy_0}{dx}v_x,$$

.

Таким образом, мы получаем почти одномерную картинку, т.к.

$$\frac{\partial v_x}{\partial y}=\frac{\partial \rho}{\partial y}=\frac{\partial p}{\partial y}=0$$

, но

$$\frac{\partial v_y}{\partial y} \ne 0$$

, что нарушает такую "одномерность". И потом на эту компоненту мы получаем уравнение. Физически такая картинка мне кажется странной.

И, наконец, я совсем не понял, как Вы линеаризовали такое уравнение
$f'u_t+f'uu_x=-(f''+f'^2)u^2.$,
чтобы получить из него такое:

$$a\frac{\partial w}{\partial x}+b\frac{\partial w}{\partial y}=f(x)$$

,
то есть, чтобы $a$ и $b$ были константами, а правая часть зависела лишь от $x$.

[Munin]

Парджеттер в сообщении #184260 писал(а):

Таким образом, вероятно, Вы имели в виду , то есть скорость распределена линейно по сечению в каждом сечении.

Да, точно, это косяк, и вы правильно указали исправление.

Парджеттер в сообщении #184260 писал(а):

Но я так и не понял - это некое волевое решение или следует из каких-то разложений?

Волевое решение. Увы, двумерную задачу я даже оценивать не дерзнул. Чтобы из неё разложения найти...

Парджеттер в сообщении #184260 писал(а):

Таким образом, мы получаем почти одномерную картинку, т.к.
, но , что нарушает такую "одномерность".

Ну я это понимаю так, что физически одномерности нет, но математически есть. То есть только по одной переменной различные неизвестные, относительно которых надо решать уравнение (динамические переменные), а изменение по другой переменной не даёт новых неизвестных.

Парджеттер в сообщении #184260 писал(а):

И, наконец, я совсем не понял, как Вы линеаризовали такое уравнение
,
чтобы получить из него такое:
,
то есть, чтобы и были константами, а правая часть зависела лишь от .

Э, они не константы. Я списывал из п. 3.8.1. указанного справочника, "Коэффициенты уравнений содержат произвольные функции $x$". С. 82. Извините, что не уточнил, из записи это не видно.

Извините, что надолго зажал ответы. Ещё извините, что сейчас отвечаю в полусонном состоянии. В воскресенье смогу разобраться подробнее.