2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение06.02.2009, 21:07 
Интересно - получается, что исходный равносторонний треугольник вписанный в окружность можно расположить под разными углами к осям системы координат - потом его растягивать вместе с окружностью до определенного заранее эллипса - при этом площадь растянутого будет оставаться постоянной не зависимо от его начального положения внутри окружности (хотя получаться будут разные треугольники при различных начальных положениях исходного треугольника). Т.е. здесь нет единственного решения (треугольники разные - но площадь их одна и та же - вроде $$\frac{3 \sqrt{3}*a*b}{4}}$$ ?

И получается таким способом можем найти максимальный по объему параллелепипед, вписанный в эллипсоид с осями (a,b,c) - вписать в сферу куб - а потом сферу растянуть?

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 21:19 
Аватара пользователя
Ну разумеется. При растяжении в одном направлении в $k$ раз, все площади увеличиваются ровно в $k$ раз. И треугольников с максимальной площадью $S= \frac ab \cdot \frac {\sqrt {3} b^2} {4}= \frac {\sqrt {3} ab} {4}$ будет целая куча.
И с параллелепипедом то же самое. Только прямоугольный будет один, а остальные наклонные. $V=\frac {8} {3\sqrt 3}abc$

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 21:53 
Интуитивно хотелось бы симметрии в ответе про максимальный треугольник - а оказывается это не обязательно. :)

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 22:00 
Ответ таков.
Любой треугольник, вписанный в эллипс с координатами
соответствующими значению параметра
t=a+(2/3)pi*n ;n=1,2,3
a- любое вещественное число.
Будет иметь одну и ту же максимальную площадь.
см.пример.
Изображение

 
 
 
 
Сообщение07.02.2009, 06:15 
В принципе внутри есть еще один эллипс, которого стороны треугольников максимальной площади касаются - аналогично http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

 
 
 
 
Сообщение07.02.2009, 14:55 
Вписанные многоугольники также обладают этим свой ством, помимо площадей у них равны также периметры.
Изображение

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group