Кривая Пеано

[neo66]

Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R ^2$?

Рассуждение: компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным. Но непрерывное, взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом на образ. Значит окружность гомеоморфна сфере, что неверно. Противоречие.

Правильно?

[Brukvalub]

neo66 в сообщении #184142 писал(а):

компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным.

Почему сохранится непрерывность?

[neo66]

Пусть продолженное отображение $f(x)$ не является непрерывным в точке $\infty $. Это означает, что существует последовательность $x_i \in \mathbb R$ стремящаяся к бесконечности, такая, что все $f(x_i)$ попадут в некоторый квадрат на плоскости. Но, из компактности квадрата следует, что есть предельная точка. Возьмем ее прообраз $x_0$. Тогда в точке $x_0$ наше отображение не непрерывно, что противоречит условию.

[Brukvalub]

Похоже на правду.

[AD]

neo66 в сообщении #184142 писал(а):

Значит окружность гомеоморфна сфере, что неверно.

А это существенно проще, чем исходное утверждение?

[id]

Ну тут можно просто выколоть две точки из окружности и посмотреть на связанность.

[Someone]

neo66 в сообщении #184142 писал(а):

компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным.

Непрерывного продолжения может и не существовать, а если таковое существует (можно подобрать подходящие компактификации), то взаимную однозначность взять совсем неоткуда.

neo66 в сообщении #184142 писал(а):

Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R ^2$?

В или НА?

Мне кажется, смотреть надо в сторону теории размерности.

[neo66]

Someone писал(а):

neo66 в сообщении #184142 писал(а):

компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным.

Непрерывного продолжения может и не существовать, а если таковое существует (можно подобрать подходящие компактификации), то взаимную однозначность взять совсем неоткуда.

neo66 в сообщении #184142 писал(а):

Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R ^2$?

В или НА?

1) Я имел в виду совершенно конкретные, одноточечные компактификации. Так, что с взаимной однозначностью все в порядке. Вопрос с непрерывностью продолжения. Выше я, дал "доказательство" непрерывности продолжения, но, похоже, ошибочное.
2) Взаимно однозначное отображение = биекция.

[Someone]

neo66 в сообщении #184297 писал(а):

Взаимно однозначное отображение = биекция

Дело в том, что у Вас написано "в". Так часто говорят, когда имеют в виду взаимно однозначное отображение (= биекцию) на подмножество.

neo66 в сообщении #184297 писал(а):

Вопрос с непрерывностью продолжения. Выше я, дал "доказательство" непрерывности продолжения, но, похоже, ошибочное.

Да, вот этот пункт не обоснован:

neo66 в сообщении #184206 писал(а):

Тогда в точке $x_0$ наше отображение не непрерывно

[AD]

id в сообщении #184274 писал(а):

Ну тут можно просто выколоть две точки из окружности и посмотреть на связанность.

А нельзя из $\mathbb{R}$ выкинуть одну точку и посмотреть на эту, как Вы говорите, "связанность"?

[neo66]

AD писал(а):

А нельзя из $\mathbb{R}$ выкинуть одну точку и посмотреть на эту, как Вы говорите, "связанность"?

Как? Непрерывное отображение не обязано переводить открытые множества в открытые.

[AD]

А!. Ё-моё, дошло, в чём дело. То есть изначально был не гомеоморфизм, а просто "непрерывное на". И проще тем, что можно применить теорему Александрова. Всё, извиняюсь.