2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Кривая Пеано
Сообщение06.02.2009, 15:55 
Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R ^2$?

Рассуждение: компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным. Но непрерывное, взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом на образ. Значит окружность гомеоморфна сфере, что неверно. Противоречие.

Правильно?

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 16:54 
Аватара пользователя
neo66 в сообщении #184142 писал(а):
компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным.
Почему сохранится непрерывность?

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 19:27 
Пусть продолженное отображение $f(x)$ не является непрерывным в точке $\infty $. Это означает, что существует последовательность $x_i  \in \mathbb R$ стремящаяся к бесконечности, такая, что все $f(x_i)$ попадут в некоторый квадрат на плоскости. Но, из компактности квадрата следует, что есть предельная точка. Возьмем ее прообраз $x_0$. Тогда в точке $x_0$ наше отображение не непрерывно, что противоречит условию.

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 20:47 
Аватара пользователя
Похоже на правду.

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 22:38 
neo66 в сообщении #184142 писал(а):
Значит окружность гомеоморфна сфере, что неверно.
А это существенно проще, чем исходное утверждение?

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 22:44 
Ну тут можно просто выколоть две точки из окружности и посмотреть на связанность.

 
 
 
 
Сообщение06.02.2009, 23:49 
Аватара пользователя
neo66 в сообщении #184142 писал(а):
компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным.


Непрерывного продолжения может и не существовать, а если таковое существует (можно подобрать подходящие компактификации), то взаимную однозначность взять совсем неоткуда.

neo66 в сообщении #184142 писал(а):
Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R ^2$?


В или НА?

Мне кажется, смотреть надо в сторону теории размерности.

 
 
 
 
Сообщение07.02.2009, 00:29 
Someone писал(а):
neo66 в сообщении #184142 писал(а):
компактифицируем прямую и плоскость. Тогда продолженное отображение тоже будет непрерывным и взаимно однозначным.


Непрерывного продолжения может и не существовать, а если таковое существует (можно подобрать подходящие компактификации), то взаимную однозначность взять совсем неоткуда.

neo66 в сообщении #184142 писал(а):
Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb R$ в $\mathbb R ^2$?


В или НА?


1) Я имел в виду совершенно конкретные, одноточечные компактификации. Так, что с взаимной однозначностью все в порядке. Вопрос с непрерывностью продолжения. Выше я, дал "доказательство" непрерывности продолжения, но, похоже, ошибочное.
2) Взаимно однозначное отображение = биекция.

 
 
 
 
Сообщение07.02.2009, 01:32 
Аватара пользователя
neo66 в сообщении #184297 писал(а):
Взаимно однозначное отображение = биекция


Дело в том, что у Вас написано "в". Так часто говорят, когда имеют в виду взаимно однозначное отображение (= биекцию) на подмножество.

neo66 в сообщении #184297 писал(а):
Вопрос с непрерывностью продолжения. Выше я, дал "доказательство" непрерывности продолжения, но, похоже, ошибочное.


Да, вот этот пункт не обоснован:

neo66 в сообщении #184206 писал(а):
Тогда в точке $x_0$ наше отображение не непрерывно

 
 
 
 
Сообщение07.02.2009, 08:20 
id в сообщении #184274 писал(а):
Ну тут можно просто выколоть две точки из окружности и посмотреть на связанность.
А нельзя из $\mathbb{R}$ выкинуть одну точку и посмотреть на эту, как Вы говорите, "связанность"?

 
 
 
 
Сообщение07.02.2009, 09:58 
AD писал(а):
А нельзя из $\mathbb{R}$ выкинуть одну точку и посмотреть на эту, как Вы говорите, "связанность"?

Как? Непрерывное отображение не обязано переводить открытые множества в открытые.

 
 
 
 
Сообщение07.02.2009, 10:14 
А!. Ё-моё, дошло, в чём дело. То есть изначально был не гомеоморфизм, а просто "непрерывное на". И проще тем, что можно применить теорему Александрова. Всё, извиняюсь.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group