Пусть продолженное отображение

не является непрерывным в точке

. Это означает, что существует последовательность

стремящаяся к бесконечности, такая, что все

попадут в некоторый квадрат на плоскости. Но, из компактности квадрата следует, что есть предельная точка. Возьмем ее прообраз

. Тогда в точке

наше отображение не непрерывно, что противоречит условию.