Эллипс

[daogiauvang]

1.В эллипс с полуосями $a$ и $ b$ впишите треугольник максимальной площади. Найдите эту площадь???
2. Вокруг эллипса описаны два различных прямоугольника. Докажите,что их диагонали равны.

[gris]

2. Посадить Эллипс центром в начало координат. Написать уравнения двух взаимо перпендикулярных касательных и показать, что расстояние до точки их пересечения постоянно.

[Brukvalub]

daogiauvang в сообщении #184103 писал(а):

1.В эллипс с полуосями $a$ и $ b$ впишите треугольник максимальной площади. Найдите эту площадь???

Сделайте аффинное преобразование, превращающее эллипс в окружность. для окружности ответ про треугольник очевиден. А аффинное преобразование известным способом меняет площадь.

[daogiauvang]

Cпасибо большое, gris...
а Brukvalub Вы сможете сформулировать... я еще не понял???

[gris]

Жаль, что аффинное преобразование не сохраняет углы.
Ну представьте вместо аффинного преобразования проекцию на некоторую наклонную плоскость и найдите косинус угла наклона

[ewert]

под аффинным (слово-то какое отвратительное) преобразованием подразумевается попросту сжатие вдоль большой полуоси. Оно не меняет соотношения площадей разных вписанных треугольников и, следовательно, наибольший по площади треугольник оставляет наибольшим.

[Brukvalub]

gris в сообщении #184112 писал(а):

Жаль, что аффинное преобразование не сохраняет углы.

Ничуть не жаль.... Углы здесь ни при чем.

[gris]

А у меня вопрос. Получается, что множество точек пересечения взаимно перпендикулярных касательных к эллипсу это окружность радиуса $\sqrt {a^2+b^2}$. Нет ли у неё какого-нить названия? Окружность daogiauvangа!

Из любой её точки эллипс виден под прямым углом.

А про углы... Я подумал, что нельзя-ли применить это ко второй задаче. Вокруг окружности-то все описанные прямоугольники - квадраты

[мат-ламер]

Первую задачу можно решить выписыванием функции Лагранжа. Такие примеры есть в сборнике задач по оптимизации Галеева и Тихомирова.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #184123 писал(а):

Задачу можно решить выписыванием функции Лагранжа.

о госсподи, какие ещё лагранжи. Brukvalub ведь уже всё объяснил (если отвлечься от пижонской аффинности).

[gris]

А площадь треугольника легко находится по формуле Герона

[мат-ламер]

Согласен, что с аффинным преобразованием всё гораздо проще!

Добавлено спустя 23 минуты 2 секунды:

Как экзотику, функцию Лагранжа можно применить для решения второй задачи. Т.е. взять эллипс, повернуть его на какой-либо угол, найти с помощью функции Лагранжа точки с максимальными координатами, и показать, что сумма квадратов этих координат не зависит от угла поворота эллипса. Извините за экзотику, но школьную геометрию я забыл прочно.

Добавлено спустя 6 минут 28 секунд:

Однако и тут, предложенный gris во втором посту способ гораздо проще!

[gris]

А тут и без Лагранжа можно. Написать уравнение в полярных координатах и вперёд.
Мне всё же нравится идея провести из произвольной точки две касательных, посчитать угол между ними и найти условие его равенства прямому.
Вот что-то "Квантовское" вспоминается.

[мат-ламер]

Тут дело в чём (насчёт первой задачи). Поскольку школу заканчивал давно, то мне не так очевидно, что треугольник максимальной площади, вписанный в круг - равносторонний. Оно вроде так и есть, но как это доказать элементарно - я не знаю. Поэтому и вспомнил про функцию Лагранжа.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #184155 писал(а):

, что треугольник максимальной площади, вписанный в круг - равносторонний. Оно вроде так и есть, но как это доказать элементарно -

-- элементарно. Впишите в круг любой треугольник, и пошевелите любую из его вершин. Очевидно, что максимум площади достигается только тогда, когда треугольник станет равнобедренным. Отсюда максимальным треугольником может быть только равносторонний.