Наследственная погрешность сплайнов

[oliva]

Здравствуйте уважаемые математики.
У меня вопрос по интерполяции.
В различных источниках я встречал некие формулы для оценки сверху погрешностей интерполяции, которые связаны с неточностью экспериментальных данных.
Для сплайнов же я видел только анализ методических погрешностей, связанных с особенностями интерполируемой функции и степени сплайна.

Как бы оценить влияние измерительной погрешности исходных экспериментальных данных на точность интерполяции сплайнами
(Хорошо бы узнать в какой книжке рассмотрен этот вопрос)
Заранее Вам благодарен.

[мат-ламер]

Книги по сплайнам можно найти через Google. Но вопрос можно решить примерно следующим способом. При решении задачи интерполяции обычно решается система линейных уравнений. Выпишите в явном виде матрицу этой системы. Надо оценить норму обратной матрицы. Поскольку матрица симметричная и положительно определённая, то вопрос сводится к оценке собственных значений исходной матрицы, что можно сделать, применяя метод мат. индукции. Норма обратной матрицы показывает, во сколько раз погрешности коэффициентов сплайна больше погрешности интерполируемых данных.

[oliva]

Книжки то у меня есть. Только вот не могу я найти там ответ на этот вопрос.
Скажите, пожалуйста, уважаемый, мат-ламер, эти размышления:

Цитата:

вопрос можно решить примерно следующим способом. При решении задачи интерполяции обычно решается система линейных уравнений. Выпишите в явном виде матрицу этой системы. Надо оценить норму обратной матрицы. Поскольку матрица симметричная и положительно определённая, то вопрос сводится к оценке собственных значений исходной матрицы, что можно сделать, применяя метод мат. индукции. Норма обратной матрицы показывает, во сколько раз погрешности коэффициентов сплайна больше погрешности интерполируемых данных.

Ваши, или где-то их можно увидеть?

[мат-ламер]

Это чисто моё ИМХО, возникшее при чтении вопроса. Можно попробовать загнать матрицу линейной системы в MATLAB. Там есть средства работы с разреженными ленточными матрицами. Далее в MATLABе найдите минимальное собственное значение этой матрицы. Обратная к ней величина - это то что Вы ищите. Далее попробуйте увеличивать количество узлов сплайна, т.е. размер матрицы. Возможно, что коэффициент, показывающий увеличение погрешности, будет расти линейно с ростом кол-ва узлов сплайна. Но это только гипотеза. Дальше всё это можно будет проверить экспериментируя в MATLABе с конкретными сплайнами.

[oliva]

Интересные предложения.
Насколько я понял из интерполяционной литературы, увеличение погрешности сплайна по отношению к экспериментальной данных оценивают с помощью некой константы Лебега, которую определить в общем случае сложно (если возможно). Но это все для глобального полинома. Для сплайнов почему-то об этом молчится

Не предложили ли Вы, неожиданно, новый универсальный метод экспериментального определения константы Лебега ?

Кстати, в МАТЛАБе действительно эти числа находятся без особых проблем (я это уже обнаружил:)). Только как бы более-менее грамотно связать их с погрешностями ?

[мат-ламер]

Простите, я с константой Лебега не знаком. Но, поскольку вопрос постепенно усложняется и выходит за рамки студенческого, попросите модераторов переместить его в корневой каталог.

[PAV]

Перемещено

[Алексей К.]

По делу я вряд ли чего-нть посоветую, но понять, о чём речь, хочется...
Насколько я понял, прелагается оценить погрешность каждого из 3-4 параметров-коэффициентов на каждом участке сплайна (про корреляции забудем). И как же по этим данным что-то внятное, осязаемое, прикинуть??? Видимо, это же имеет в виду и автор, вопрошая ---

oliva в сообщении #183161 писал(а):

Кстати, в МАТЛАБе действительно эти числа находятся без особых проблем (я это уже обнаружил). Только как бы более-менее грамотно связать их с погрешностями ?

oliva в сообщении #181707 писал(а):

Для сплайнов же я видел только анализ методических погрешностей, связанных с особенностями интерполируемой функции и степени сплайна.

Да, мои воспоминания о книге Завьялов, Леус, Скороспелов, "Сплайны в инженерной геометрии", примерно такие же.
Не от того ли этот вопрос не обсуждается, что слишком сложно интерпретировать и постановку вопроса, и возможные решения?

oliva в сообщении #181707 писал(а):

Как бы оценить влияние измерительной погрешности исходных экспериментальных данных на точность интерполяции сплайнами

А не будет ли ответом --- "точность сплайн-интерполяции есть, по сути, точность самих измерений"? (Ну, может как-то линейно на наклон функции поправить).Так, по-простому...

[ewert]

Алексей К. в сообщении #183371 писал(а):

А не будет ли ответом --- "точность сплайн-интерполяции есть, по сути, точность самих измерений"?

Нет, не будет. Собственно, мат-ламер про матрицу правильно намекнул. А причина в том, что для сплайн-интерполяции нет явных формул, а есть лишь алгоритм. Конечно, если рассматриваются сплайны наименьшего дефекта, если же локальные -- то есть и явные формулы с вытекающими последствиями.

[ha]

Вообще точность сплайн-интерполяции в точках сетки равна точности самих измерений. Вот между точками сетки она больше. Можно взять приближение сплайном дискретной дельта-функции и просуммировать модули значений в точках с дробной частью \delta это и даст константу Лебега в точках с этой дробной частью.

[мат-ламер]

Надо уточнить постанову вопроса. Как трактовать фразу "Как оценить влияние измерительной погрешности ... на точность интерполяции сплайнами?". Всё, что я написал по поводу норм и собственных значений матриц, отвечает на вопрос, как будут меняться сами коэффициенты сплайна, если мы будем менять значение интерполируемой функции в узлах интерполяции. Сейчас понял, что в вопросе имелось в виду другое. Т.е. мы вносим какую-то погрешность узлах. Как это повлияет на расстояние между исходной функцией и сплайном между узлами? Интуитивно ясно, что погрешность интерполяции увеличится на величину не большую максимального возмущения в узле, умноженную на какую-то небольшую константу (например - 3). Будем возмущать один узел. При этом по сплайну пойдёт волна возмущений, не превышающая по абсолютной величине исходного возмущения и быстро затухающая вдали от возмущаемого узла. Если мы будем возмущать несколько узлов, то на значения сплайна в данной точке будут в основном влиять возмущения в ближайших узлах. Проверьте всё это численным экспериментом.

Добавлено спустя 31 минуту 5 секунд:

Поставим задачу так. Пусть вначале у нас есть нулвеой сплайн, интерполирующий нулевую функцию. Затем в узлах будем вводить возмущения, не превышащие единицу. Как максимально мы сможем раскачать сплайн, т.е. какую максимально сможем получить норму сплайна в равномерной метрике? Интуитивно кажется, что экстремальным будет сплайн, для которого в узлах интерполяции возмущения чередуются попарно. Посредине двух единичных возмущений мы получим значение сплайна, не превышающее какую-то константу (в районе двойки). Это константа и будет ответом на поставленный вопрос. Т.е. ошибки интерполяции между узлами будут превышать ошибки измерения не более, чем в два раза (примерно). Всё это справедливо для сплайнов с равноотстоящими узлами.

[worm2]

Итак, вроде бы, задача сводится к вопросу существует ли (и если да, то чему равен)

$$\sup\limits_{f_h \not \equiv 0}\frac{||s_p[f_h]||_{\mathbf C}}{||f_h||_{{\mathbf C},h}}}$$

,
где $f_h$ --- сеточная функция (самый левый узел сетки обзовём $a$, самый правый --- $b$), $s_p[f_h]$ --- сплайн $p$-й степени, построенный по ней, $||\cdot||_{\mathbf C}$ --- норма в пространстве ${\mathbf C}[a,b]$ (максимум модуля функции), $||\cdot||_{{\mathbf C}, h}$ --- аналог этой нормы в пространстве сеточных функций (максимум из модулей значений в узлах).

Чтобы задача была однозначно поставлена, нужно ещё уточнить поведение сплайна на границах отрезка (т.к. сплайн $p$-го порядка определяется с точностью до $p-1$ свободных параметров), причём нулевой сеточной функции обязан соответствовать нулевой сплайн. Мне кажется, от этого уточнения зависит результат.

Отдельные интересные вопросы --- зависит ли искомый супремум от сетки, или хотя бы от расстояния между её краями $a$ и $b$.

Добавлено спустя 1 минуту 44 секунды:

Для $p=1$ вопрос тривиален: искомый супремум всегда существует, достигается на любой ненулевой сеточной функции и равен 1.

[worm2]

Численное моделирование показало, что, по крайней мере для стандартного кубического сплайна ($p=3$) искомый $\sup$ зависит от сетки. Если взять неравномерную сетку $\{0; \varepsilon; 1\}$, у которой значения на концах равны нулю, а значение в средней точке --- единице, то при стремлении $\varepsilon$ к нулю искомый $\sup$ стремится к $\infty$.

Добавлено спустя 14 минут 29 секунд:

На равномерной сетке мне пока не удаётся достичь величины, большей примерно 1.14.

[мат-ламер]

Для того, чтобы искомый экстремум сильно не возрастал, на сетку можно наложить некоторые условия регулярности. Например, соседние интервалы не должны отличаться по величине, скажем, в полтора раза. Это заодно будет гарантировать положительную определённость матрицы и устойчивость вычислительного процесса. Очень давно я встречал что-то похожее по-моему, у Завьялова - Квасова - Мирошниченко.