Несколько вариаций

[Утундрий]

Вот то, что получается "сходу"

$\delta ( \sqrt {g} ) = - \frac{1}{2} \sqrt {g} g_\mu_\nu \delta g^\mu^\nu $
$\delta ( \sqrt {g} R) =\sqrt {g} \left(R_\mu_\nu - \frac{1}{2} R g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} g^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu $
$\delta ( \sqrt {g} \frac{1}{2} R^2) =\sqrt {g} R \left(R_\mu_\nu - \frac{1}{4} R g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} g^\mu^\nu R \delta R_\mu_\nu $
$\delta ( \sqrt {g} \frac{1}{2} R^\alpha^\beta R_\alpha_\beta) =\sqrt {g} R \left(R_\mu^\alpha R_\nu_\alpha - \frac{1}{4} R^\alpha^\beta R_\alpha_\beta g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} R^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu $
$\delta ( \sqrt {g} \frac{1}{2} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta ) =\sqrt {g} R \left(2 R_\mu^\alpha^\beta^\gamma R_\nu_\alpha_\beta_\gamma - \frac{1}{4} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta \delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta $

А вот это получено весьма ненадежным способом (переходом в с.к., где $g_\mu_\nu_{,}_\sigma = 0$ и дальнейшим "угадыванием" ковариантной формы полученных выражений)

\sqrt {g} g^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu = 0 + div
\sqrt {g} g^\mu^\nu R \delta R_\mu_\nu = \sqrt {g} \frac{1}{2} (R^{;}^\mu^\nu - R^{;}^\alpha_{;}_\alpha g^\mu^\nu )\delta g_\mu_\nu + div
\sqrt {g} R^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu = \sqrt {g} \frac{1}{2} (\frac{1}{2} R^{;}^\mu^\nu - R^\mu^\nu^{;}^\alpha_{;}_\alpha )\delta g_\mu_\nu + div
\sqrt {g} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta \delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta = - \sqrt {g} \frac{1}{2} R^\mu^\alpha^\nu^\beta_{;(}_\alpha_\beta_{)} \delta g_\mu_\nu + div

Верна ли вторая группа равенств?

P.S. Большая просьба персонажу AlexNew здесь не отписываться.

[Петухачъ]

Вторая группа равенств безукоризненна верна!.... И это заметно "сходу"....

[жырок]

Петухачъ, не верна! я испытал их на своей машине времени и ничего не вышло!!

[Петухачъ]

Уважаемый Жырок... я конечно понимаю... что у Вас степень Большая в Физике... Но усли Вы посмотрете внимательнее то там видно, (конечно умным взглядом) что ошибки нет... но я могу и ошибаться...

[жырок]

photon:

мат и прочие оскорбления удалены. Бан.

[Петухачъ]

Ой... не заметил, что тут написано:
>>"P.S. Большая просьба персонажу AlexNew здесь не отписываться."

Жырок =-0

[Александр Т.]

Утундрий писал(а):

Вот то, что получается "сходу"

$\delta ( \sqrt {g} ) = - \frac{1}{2} \sqrt {g} g_\mu_\nu \delta g^\mu^\nu $
$\delta ( \sqrt {g} R) =\sqrt {g} \left(R_\mu_\nu - \frac{1}{2} R g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} g^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu $
$\delta ( \sqrt {g} \frac{1}{2} R^2) =\sqrt {g} R \left(R_\mu_\nu - \frac{1}{4} R g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} g^\mu^\nu R \delta R_\mu_\nu $
$\delta ( \sqrt {g} \frac{1}{2} R^\alpha^\beta R_\alpha_\beta) =\sqrt {g} R \left(R_\mu^\alpha R_\nu_\alpha - \frac{1}{4} R^\alpha^\beta R_\alpha_\beta g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} R^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu $
$\delta ( \sqrt {g} \frac{1}{2} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta ) =\sqrt {g} R \left(2 R_\mu^\alpha^\beta^\gamma R_\nu_\alpha_\beta_\gamma - \frac{1}{4} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta g_\mu_\nu \right) \delta g^\mu^\nu + \sqrt {g} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta \delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta $

А вот это получено весьма ненадежным способом (переходом в с.к., где $g_\mu_\nu_{,}_\sigma = 0$ и дальнейшим "угадыванием" ковариантной формы полученных выражений)

\sqrt {g} g^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu = 0 + div
\sqrt {g} g^\mu^\nu R \delta R_\mu_\nu = \sqrt {g} \frac{1}{2} (R^{;}^\mu^\nu - R^{;}^\alpha_{;}_\alpha g^\mu^\nu )\delta g_\mu_\nu + div
\sqrt {g} R^\mu^\nu \delta R_\mu_\nu = \sqrt {g} \frac{1}{2} (\frac{1}{2} R^{;}^\mu^\nu - R^\mu^\nu^{;}^\alpha_{;}_\alpha )\delta g_\mu_\nu + div
\sqrt {g} R^\alpha^\beta^\gamma^\delta \delta R_\alpha_\beta_\gamma_\delta = - \sqrt {g} \frac{1}{2} R^\mu^\alpha^\nu^\beta_{;(}_\alpha_\beta_{)} \delta g_\mu_\nu + div

Верна ли вторая группа равенств?

Без разъяснения обозначений трудно что-либо понять. Я так понимаю, что $\delta$ --- это вариация, а вот что такое $div$? Далее, индексы пробегают значения (1,2), (1,2,3) или (0,1,2,3)?

Обычно, через $g$ обозначают определитель матрицы, составленной из ковариантных компонент метрического тензора $g_{\alpha\beta}$. Тогда, если $\alpha,\beta=0,1,2,3$, то $g<0$ (см., например, (82,3) ЛЛ2), и уже первое тождество

Цитата:

$\delta ( \sqrt {g} ) = - \frac{1}{2} \sqrt {g} g_\mu_\nu \delta g^\mu^\nu $

бессмысленно (а также все остальные, где присутствует $\sqrt{g}$).

[Munin]

Бывают разные соглашения о знаках и сигнатурах, в ЛЛ-2 только один вариант из нескольких. См. форзац первого тома МТУ.

[Александр Т.]

Munin писал(а):

Бывают разные соглашения о знаках и сигнатурах, в ЛЛ-2 только один вариант из нескольких. См. форзац первого тома МТУ.

Хотел добавить слова о выборе сигнатуры после того, как уже отправил сообщение. Но было лень, т.к. в любом случае без разъяснения обозначений ничего про правильность вышевыписанных формул сказать нельзя.

У меня есть сомнение в правильности уже первой формулы даже в том случае, если выбрана сигнатура (-+++)... Ну вот, столько уже написал, и только сейчас осознал, что и при таким выборе сигнатуры определитель матрицы ковариантных компонент будет отрицательным (по крайней мере для систем отсчета, в которых матрица ковариантных компонент метрического тензора диагональнальна). Тогда так. Даже если имеется в виду трехмерное пространство с сигнатурой (+++), у меня есть сомнение в правильности первой формулы (если через $g$ обозначать определитель матрицы ковариантных компонент метрического тензора).

[Munin]

Видимо, придётся считать. А так не хотелось...

[Утундрий]

Разъясняю обозначения:

1)

\[g = \left| {\det \left( {g_{\mu \nu } } \right)} \right|\]

(надеюсь, понятно, что в такой записи формулы не зависят от сигнатуры?)

2) формулы справедливы для многообразия любой размерности (это к вопросу о "пробегаемости" индексов)

3)

\[\delta \]

- это таки вариация

4)

\[div \equiv w^\sigma _{,\sigma } \]

, где конкретный вид

\[w^\sigma \]

меня в данный момент не волнует.

[Александр Т.]

Утундрий писал(а):

Разъясняю обозначения:
...
3)

\[\delta \]

- это таки вариация

4)

\[div \equiv w^\sigma _{,\sigma } \]

, где конкретный вид

\[w^\sigma \]

меня в данный момент не волнует.

На первый взгляд при таком определении вторая группа равенств явно не верна, поскольку в них присутствуют как бесконечно малые величины (которые с вариацией), так и конечные (которые с $div$). На второй взгляд $w^\alpha$ может быть, например, вида $\dots{}^\gamma\delta{g}_{\gamma\alpha}$ (так что если не конкретный, то в некотором смысле общий вид $w^\alpha$ должен все-таки волновать (если не Вас, то читающих Ваши сообщения) --- но это уже придирки); в общем, нужно дальше разбираться. А на третий взгляд мне показалось, что имеется в виду не $w^\sigma_{,\sigma }$, а $w^\sigma_{\ ;\sigma}$. Так?

[Утундрий]

Александр Т. писал(а):

На первый взгляд при таком определении вторая группа равенств явно не верна...

Кстати, первое из этих равенств взять прямиком из ЛЛ том 2. Может быть хотя бы это замечание поумерит ваш критицизм и поспособствует включению мозга? Я понимаю, что хаять не задумываясь и рецензировать не вчитываясь легче легкого, но Вы, право, уж очень долго "раскачиваетесь".

Александр Т. писал(а):

если не конкретный, то в некотором смысле общий вид $w^\alpha$ должен все-таки волновать (если не Вас, то читающих Ваши сообщения) --- но это уже придирки)

Верно подмечено, именно - придирки. Накой мне этот общий вид, если он при интегрировании выпадает в поверхностный интеграл по краю рассматриваемой области? Меня пока что уравнения движения волнуют, а не законы сохранения.

Александр Т. писал(а):

; в общем, нужно дальше разбираться.

В добрый путь. Если что непонятно, спрашивайте.

Александр Т. писал(а):

А на третий взгляд мне показалось, что имеется в виду не $w^\sigma_{,\sigma }$, а $w^\sigma_{\ ;\sigma}$. Так?

Когда кажется - креститься надо. Присмотритесь, там запятая. То есть обычная производная. Не точка с запятой и даже не двоеточие.

Добавлено спустя 4 минуты 48 секунд:

Следующим вопросом, думаю, будет "Что такое

\[R_{\mu \nu } \]

"?

[Александр Т.]

Утундрий писал(а):

Александр Т. писал(а):

А на третий взгляд мне показалось, что имеется в виду не $w^\sigma_{,\sigma }$, а $w^\sigma_{\ ;\sigma}$. Так?

Когда кажется - креститься надо.

Я все-таки решил пренебречь этим Вашим указанием. Вместо него я решил взять себе за правило не реагировать на Ваши сообщения, в которых обозначения, которые могут вызывать сомнения, не разъяснены. А то уж больно часто креститься придется.

Цитата:

Присмотритесь, там запятая. То есть обычная производная. Не точка с запятой и даже не двоеточие.

Да я заметил, что там запятая. Но до Вашего сообщения имел дело только с таким определением

$$ \mathop{\mathrm{div}}\vec{w} = \mathop{\mathrm{div}}\left(w^\alpha\vec{e}_\alpha}\right) = w^\alpha_{.,\alpha}+\Gamma^\alpha_{\alpha\beta}w^\beta = w^\alpha_{.;\alpha} $$

Цитата:

Следующим вопросом, думаю, будет "Что такое

\[R_{\mu \nu } \]

"?

А ответом на этот вопрос было бы "Читайте ЛЛ2, особенно (92,6)"?

[Утундрий]

Итак, резюмируем:

\[\delta \]

- значек вариации

\[g\]

- модуль определителя метрического тензора

\[div\]

- здесь не оператор, а просто сокращенное обозначение для выражения

\[\sum\limits_{\sigma = 1}^n {\frac{{\partial w^\sigma }}{{\partial x^\sigma }}} \]

\[n \geqslant 2\]

\[R_\alpha ^{\beta \gamma \delta } \equiv R_{\alpha \cdot \cdot \cdot }^{ \cdot \beta \gamma \delta } \]

\[T_{(\alpha \beta )} \equiv \frac{1}{2}\left( {T_{\alpha \beta } + T_{\beta \alpha } } \right)\]

кажется все... во всяком случае, не знаю, что тут еще может нуждаться в разъяснениях...