Школьная задача про поплавок

[мат-ламер]

Заинтересовала такая задача. Имеется кастрюля и в ней плавает поплавок посередине между центром и стенками. Затем кастрюлю начинают вращать. Куда сдвинется поплавок? Интуитивно, в первом приближении, кажется, что не куда. Достаточно перейти к новой системе координат, связанной с поплавком. Во всяком случае это верно для достаточно малого поплавка или для поплавка с плотностью близкой к плотности воды. Но, может быть, имеют место эффекты второго порядка, и поплавок куда либо начнёт дрейфовать? Просьба учесть, что автор вопроса не физик, а программист.

[Парджеттер]

мат-ламер в сообщении #183503 писал(а):

Имеется кастрюля и в ней плавает поплавок посередине между центром и стенками

Посередине это где? На половине радиуса?

мат-ламер в сообщении #183503 писал(а):

Затем кастрюлю начинают вращать. Куда сдвинется поплавок?

Если не учитывать гидродинамические эффекты, то к стенке он продрейфует. А если учитывать - то надо подумать.

мат-ламер в сообщении #183503 писал(а):

Интуитивно, в первом приближении, кажется, что не куда.

Из каких соображений?

мат-ламер в сообщении #183503 писал(а):

Достаточно перейти к новой системе координат, связанной с поплавком.

Это к какой?

[gris]

Надо посмотреть поле скоростей в жидкости. Определить, будет ли вращение равномерным. Определить коэффициенты "прилипания" воды к поплавку, к дну и стенкам кастрюли. Если устоявшееся поле скоростей будет цилиндрическим, то поплавок никуда не денется даже при малых флуктуациях положения. Представляю, как гидродинамик рассмеётся, прочитав мой текст. Но без уравнения Навье-Стокса здесь не обойтись.

[Парджеттер]

gris в сообщении #183592 писал(а):

Определить коэффициенты "прилипания" воды к поплавку, к дну и стенкам кастрюли.

А что за коэффициенты прилипания такие?

Добавлено спустя 8 минут 17 секунд:

gris в сообщении #183592 писал(а):

Представляю, как гидродинамик рассмеётся, прочитав мой текст. Но без уравнения Навье-Стокса здесь не обойтись.

Ну... если вопрос не праздный, то тогда есть ЛЛ-6, а там есть §18, в котором для движения между двумя вращающимися цилиндрами выписаны уравнения Навье:

$$\frac{dp}{dr}=\rho \frac{v^2}{r} \eqno(1)$$

$$\frac{d^2v}{dr^2}+\frac{1}{r} \frac{dv}{dr}-\frac{v^2}{r} \eqno(2)$$

Тут введены стандартные цилиндрические координаты: $r,z,\varphi$.
И получено решение:

$$v(r)=\frac{\Omega_2 R_2^2-\Omega_1 R_1^2}{R_2^2-R_1^2}r + \frac{(\Omega_1-\Omega_2) R_1^2 R_2^2}{R_2^2-R_1^2} \frac{1}{r}$$

У нас случай частный - внутреннего цилиндра нет - так что и $R_1$ и $\Omega_1$ можно положить равными нулю.
Вот и поле скоростей получится.

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

И совершенно непостижимым образом, получаем, что

$$v(r)=\Omega_2 r$$

Добавлено спустя 16 минут 42 секунды:

А вот теперь про кастрюлю можно забыть. Поплавок находится во вращающейся жидкости. Я так понимаю, теперь вопрос сводится о том, будет ли его положение на определенном постоянном радиусе $R_*$ устойчиво?

[gris]

Я имел ввиду вязкость жидкости и её трение о стенки и дно кастрюли. Изначально вопрос ставился о том, как будет вести себя поплавок после начала движения, то есть при ускоренном движении жидкости.
При установившемся движении маленький поплавок должен вроде бы описывать окружность. Но не будет ли тут каких-нибудь эффектов его торможения и сползания к центру? И ещё - не будет ли дно кастрюли вызывать какие-нибудь вертикальные движения воды? Впрочем, это очень дилетантские рассуждения и мне не хотелось бы привлекать к ним внимание.
Вопрос немного пожож на известный опыт с чаинками. Но они тяжелее воды, а поплавок легче. Попробую что-нибудь почитать об этом.
Форма поверхности равномерно вращающейся жидкости будет параболическая. Если поплавок будет смещаться к краям, значит он увеличивает энергию. Откуда же он её будет брать? Мне кажется, что из-за трения поплавок будет постепенно терять энергию и переместиться в центр.

[Александр Т.]

мат-ламер писал(а):

Заинтересовала такая задача. Имеется кастрюля и в ней плавает поплавок посередине между центром и стенками. Затем кастрюлю начинают вращать. Куда сдвинется поплавок?

Если поплавок плавает, значит его плотность меньше плотности воды. Следовательно, когда кастрюлю будут вращать, появившаяся центробежная сила, действие которой аналогично действию силы тяжести, будет направлена к стенкам кастрюли, и заставит поплавок "всплывать", т.е. двигаться от стенок к центру кастрюли. Кроме центробежной, при вращении появляется еще сила Кориолиса, действие которой не так наглядно, но я думаю, что в данном случае ее действие не изменит качественую картину движения поплавка. Вроде бы так.

[мат-ламер]

Давайте упростим постановку задачи. Дело в том, что эта задача предлагалась в одном из ранних номеров журнала "Квант". Утверждалось, что поплавок сместится к центру. Доказательство я не понял и не согласился с ним, поскольку на тот момент мне казалось, что поплавок никуда не сдвинется. Поскольку задача школьная, то будем преполагать, что всякие гидродинамические эффекты не существенны. Будем также считать, что кастрюля вращается с постоянной угловой скоростью, была разогнана до этой скорости очень равномерно и в течение разгона поплавок удерживался на своём месте - посередине радиуса межу центром и стенками. Т.е. будем считать, что процесс стационарный и стоит вопрос, действует ли на поплавок какая-либо сила и куда она направлена? Поместим (небольшого!) наблюдателя на поплавок. Что он увидит? Сила тяжести направлена вниз. Уровень воды перпендикулярен силе тяжести (в некоторой окрестности). Казалось - куда двигаться? Однако, голова наблюдателя ( и вершина поплавка) смещена немного к центру и на неё будет действовать центробежная (хотя тут было мнение, что центростремительная) сила и поплавок под действием этой силы будет потихоньку смещаться к стенкам. Можно привести ещё такие соображения. Допустим, поплавок сделан из воды, то он естественно останется на месте. Заморозим его и превратим в лёд. Объём, занимаемый им под водой останется таким же, так как давление воды на стенки кастрюли останется тем же. Также уровень воды не изменится. Зато ледяная верхушка поплавка будет торчать сверху. И это состояние системы будет иметь меньшую энергию, чем система с поплавком в центре (тоже замороженным). Мы пренебрегли эффектом, что кастрюля начнёт вращаться быстрее, в силу его незначительности. Поскольку система будет стремиться к энергетически выгодному состоянию, то поплавок будет дрейфовать к стенкам. Но это моё ИМХО, и поскольку тут высказывались разные мнения, то хотелось бы уточнения. Если найду задачу в "Кванте", то приведу ссылку.

[gris]

мат-ламер писал(а):

Уровень воды перпендикулярен силе тяжести (в некоторой окрестности)

Уровень воды будет иметь параболическую форму. Я вспомнил детскую книжку про физика Роберта Вуда. Он так делал телескоп из кастрюли с ртутью.

[Парджеттер]

gris в сообщении #183772 писал(а):

Уровень воды будет иметь параболическую форму.

Смотря с какой скоростью вращать.

[gris]

я имею ввиду устоявшееся равномерное по угловой скорости вращение объёма воды вместе с достаточно глубокой кастрюлей с небольшой угловой скоростью. Всё же я думаю, что влияние дна будет иметь место, особенно при очень мелком уровне воды. Ну ещё из-за поверхностного натяжения форма может как-то меняться, особенно у краёв.
И я думаю, что существует достаточно большая скорость вращения кастрюли, при которой не будет образовываться пограничного слоя у поверхности кастрюли. Вода просто будет "проскальзывать" и находиться в покое либо придёт в состояние покоя. . Кроме того, при постепенном приближении к такой скорости в воде могут появиться какие-нибудь волны. Ну это опять пошли мои фантазии:)

[Парджеттер]

мат-ламер в сообщении #183759 писал(а):

Давайте упростим постановку задачи. Дело в том, что эта задача предлагалась в одном из ранних номеров журнала "Квант". Утверждалось, что поплавок сместится к центру. Доказательство я не понял и не согласился с ним, поскольку на тот момент мне казалось, что поплавок никуда не сдвинется.

Так вот же Александр Т. все качественно и, так сказать, "на пальцах" показал:

Александр Т. в сообщении #183715 писал(а):

Если поплавок плавает, значит его плотность меньше плотности воды. Следовательно, когда кастрюлю будут вращать, появившаяся центробежная сила, действие которой аналогично действию силы тяжести, будет направлена к стенкам кастрюли, и заставит поплавок "всплывать", т.е. двигаться от стенок к центру кастрюли.

Я согласен с таким объяснением.

[мат-ламер]

Простите, а с какой скоростью надо вращать кастрюлю, чтобы уровень воды отличался от параболоида вращение (пусть и с разрывом на дне)? Будем считать, что кастрюля накрыта крышкой и вода не убегает.

[gris]

На поплавок будет действовать центростремительная сила.
Кстати, по-моему наша ситуация отличается от поведения шарика на вращающейся поверхности. Да и шарик по разному будет себя вести в зависимости от формы поверхности и скорости вращения.

[мат-ламер]

Если шарик на доске, то сила тяжести плюс силы инерции не перпеникулярны доске. Если поплавок в воде, то силы тяжести плюс силы инерции перпендикулярны уровню воды. Тут ситуация потоньше будет.

[gris]

Поплавок частично погружен в воду. На него действуют сила тяжести, архимедова сила, сила со стороны воды, обусловленная влиянием вязкости воды, поверхностного натяжения и смачивания поверхности поплавка. Сила тяжести не перпендикулярна поверхности воды, кроме как в центре.