2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнения типа уравнений Лапласа-Пуассона - пара вопросов
Сообщение24.01.2009, 23:07 


24/01/09
831
Украина, Днепропетровск
Народ, два вопроса.

1. Литературу по решению уравнения Пуассона, влиянию граничных условий итд. найти худо бедно можно.
А что можно почитать, очень желательно в электронном виде, по системам уравнений типа Пуассона?
Например системе уравнений для векторного поля $\vec A$:
$\nabla^2 \vec A = \vec B$
$\vec \nabla \cdot \vec A =0$ -
3 уравнения Пуассона + объединяющее диф. уравнение. Как последнее сказывается на решениях, возможных граничных условиях итп?

2. Предположим у нас есть уравнение Лапласа с некоторыми граничными условиями (второго + третьего рода, если нужно) на некоторой поверхности.
Мы хотим найти разложение этого решения в виде суммы ряда по наборы частных решений уравнения Лапласа для бесконечного объема (гармонических функций).
Но тут возникает проблема. Таких решений очень много, много даже классов решений. А между тем понятно, что если, например, наша поверхность - односвязная поверхность с цилиндрической симметрией, то стоит рассматривать только "цилиндрические" (или "сферические") решения, и даже все, а те что не расходятся при $r \to 0$. А условия на границе при этом могут еще более сузить класс возможных решений.
Вопрос - можно ли как-то по топологии поверхности и виду граничных условий определить на каком минимальном классе гармонических функций нужно искать такое разложение?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 00:49 


24/01/09
831
Украина, Днепропетровск
Математики, неужели нет ни одного знающего по этой области? :(

А еще какие-то мат. форумы, где возможно могут дать ответ на этот вопрос существуют?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 09:42 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Я не специалист в данной области, но этот вопрос наверное надо задавать скорее физикам или радиоинженерам. Ваша система чем-то напоминает уравнения Максвелла. Во всяком случае можно поискать книги по вычислительной математике, ориентированные на физиков, например, Власова В.М. Приближённые методы математической физики.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 14:14 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Четыре уравнения на три функции многовато будет. Эта система похожа на стационарную систему Стокса из которой выброшен нелинейный член. Только там еще в первых уравнениях стоит градиент давления. Получается четыре уравнения на четыре неизвестных. По-моему, это называется линеаризованная система Стокса. Хотя обычно нассмативают ее нестационарный вариант. Что-то насчет нее, кажется, есть в Ладыженской.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 15:58 


06/12/06
347
Theoristos писал(а):
Например системе уравнений для векторного поля $\vec A$:
$\nabla^2 \vec A = \vec B$
$\vec \nabla \cdot \vec A =0$ -
3 уравнения Пуассона + объединяющее диф. уравнение. Как последнее сказывается на решениях, ...?

Для того, чтобы эта система уравнений имела решение, необходимо, чтобы
$$\nabla \cdot \vec B =0.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2009, 16:00 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Смысл второго уравнения состоит в отсутствии источников, т.е. поле будет соленоидальным. В решении не должно быть сингулярностей. Это должно накладывать какие-то ограничения по гладкости на правую часть и на граничные условия первого уравнения. По второму вопросу. Соображения симметрии всегда надо использовать и если надо перейти к соответствующим координатам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group