Уравнения типа уравнений Лапласа-Пуассона - пара вопросов

[Theoristos]

Народ, два вопроса.

1. Литературу по решению уравнения Пуассона, влиянию граничных условий итд. найти худо бедно можно.
А что можно почитать, очень желательно в электронном виде, по системам уравнений типа Пуассона?
Например системе уравнений для векторного поля $\vec A$:
$\nabla^2 \vec A = \vec B$
$\vec \nabla \cdot \vec A =0$ -
3 уравнения Пуассона + объединяющее диф. уравнение. Как последнее сказывается на решениях, возможных граничных условиях итп?

2. Предположим у нас есть уравнение Лапласа с некоторыми граничными условиями (второго + третьего рода, если нужно) на некоторой поверхности.
Мы хотим найти разложение этого решения в виде суммы ряда по наборы частных решений уравнения Лапласа для бесконечного объема (гармонических функций).
Но тут возникает проблема. Таких решений очень много, много даже классов решений. А между тем понятно, что если, например, наша поверхность - односвязная поверхность с цилиндрической симметрией, то стоит рассматривать только "цилиндрические" (или "сферические") решения, и даже все, а те что не расходятся при $r \to 0$. А условия на границе при этом могут еще более сузить класс возможных решений.
Вопрос - можно ли как-то по топологии поверхности и виду граничных условий определить на каком минимальном классе гармонических функций нужно искать такое разложение?

[Theoristos]

Математики, неужели нет ни одного знающего по этой области?

А еще какие-то мат. форумы, где возможно могут дать ответ на этот вопрос существуют?

[мат-ламер]

Я не специалист в данной области, но этот вопрос наверное надо задавать скорее физикам или радиоинженерам. Ваша система чем-то напоминает уравнения Максвелла. Во всяком случае можно поискать книги по вычислительной математике, ориентированные на физиков, например, Власова В.М. Приближённые методы математической физики.

[Gafield]

Четыре уравнения на три функции многовато будет. Эта система похожа на стационарную систему Стокса из которой выброшен нелинейный член. Только там еще в первых уравнениях стоит градиент давления. Получается четыре уравнения на четыре неизвестных. По-моему, это называется линеаризованная система Стокса. Хотя обычно нассмативают ее нестационарный вариант. Что-то насчет нее, кажется, есть в Ладыженской.

[Александр Т.]

Theoristos писал(а):

Например системе уравнений для векторного поля $\vec A$:
$\nabla^2 \vec A = \vec B$
$\vec \nabla \cdot \vec A =0$ -
3 уравнения Пуассона + объединяющее диф. уравнение. Как последнее сказывается на решениях, ...?

Для того, чтобы эта система уравнений имела решение, необходимо, чтобы

$$\nabla \cdot \vec B =0.$$

[мат-ламер]

Смысл второго уравнения состоит в отсутствии источников, т.е. поле будет соленоидальным. В решении не должно быть сингулярностей. Это должно накладывать какие-то ограничения по гладкости на правую часть и на граничные условия первого уравнения. По второму вопросу. Соображения симметрии всегда надо использовать и если надо перейти к соответствующим координатам.