дельта-функция в сферических координатах

[nestoklon]

Йа Гринько в сообщении #181809 писал(а):

И еще. По определению... $\delta(0) = +\infty$, поправьте если заблуждаюсь.

Ошибаетесь. Давайте рассмотрим последовательность функций

$$ \delta_{\varepsilon}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} \frac{x}{\varepsilon^2}&,\quad x\in(0,\varepsilon]\\ \frac{2\varepsilon-x}{\varepsilon^2}&,\quad x\in[\varepsilon,2\varepsilon)\\ 0&,\quad x\notin(0,2\varepsilon) \end{array} \right. $$

Несложно показать, что $\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\delta_{\varepsilon}=\delta(x)$, но при этом $\delta_{\varepsilon}(0)=0$

Кстати, есть подозрение, что у этого отличия на двойку уши растут из отличия $\delta_{\varepsilon}$ от $\delta_{\Delta}$

[вздымщик Цыпа]

ewert в сообщении #181808 писал(а):

боюсь, что знает. Но ещё более боюсь, что не знает -- что такое последовательность функционалов на неопределённом множестве пробных функций.

Бойтесь. Но не более бойтесь. Как строится «притягивание за уши» линейного функционала $F(f) = f(a)$ к «общему» виду $\int \delta(x-a)f(x)dx$ я конечно же знаю. Меня позабавило утверждение о сходимости.

[Gortaur]

Кстати, если говорить о $\delta(x,y,z)$, то $\delta(0,0,0)=+\infty$. C другой стороны, $\delta(0,\varphi,\theta)=+\infty$ для любых аргументов $\varphi,\theta$.

Добавлено спустя 25 секунд:

Здесь имеется ввидут $\delta$ в полярных координатах.

[вздымщик Цыпа]

Так что, интерес завял?

Имеется якобы функция $\delta(x)$, про которую известно, что

$$\forall\varepsilon > 0\quad \int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} \delta(x) = 1$$

. Вопрос, чему равен

$$\int_0^{+\varepsilon}\delta(x)dx$$

? Возможные ответы:
1) $1$;
2) $1/2$;
3) любое число.

Первым двум соответствуют два варианта из первого поста. Третьему — все остальные возможныме

[Gortaur]

А Вы уверены, что однозначно определили данную функцию? Можно сказать, что $\forall \varepsilon>0$ выполнено:
1. $\int\limits_{-\varepsilon}^0{\delta(x)}{dx}=k$,
2. $\int\limits_0^{-\varepsilon}{\delta(x)}{dx}=1-k$.

Очевидно, что такая функция дает 3-й ответ на Ваш вопрос.

Далее,
3. $\int\limits_{-\varepsilon}^0{\delta(x)f(x)}{dx}=kf(0)$,
4. $\int\limits_0^{-\varepsilon}{\delta(x)f(x)}{dx}=(1-k)f(0)$

Чтобы $\delta(x)$, введенная Вами однозначно интегрировалась, введите нормировку вроде $\int\limits_{-\varepsilon}^0{\delta(x)}{dx}=$\int\limits_0^{-\varepsilon}{\delta(x)}{dx}$. Тогда и получите $\frac{1}{2}$.

[AD]

А что мешает просто записать равенство $\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\delta(x,y)f(x,y)\,dx\,dy=f(0,0)$
и формально перейти в интеграле к полярным координатам?

[nestoklon]

AD в сообщении #182386 писал(а):

А что мешает просто записать равенство $\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\delta(x,y)f(x,y)\,dx\,dy=f(0,0)$
и формально перейти в интеграле к полярным координатам?

То, что при переходе к полярным координатам у нас будет интегрирование от 0 до $\infty$. Формально определено только действие функционала вида

$$f(x) \; \longrightarrow \; \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)f(x)dx=f(0)$$

,
а действие

$$f(r) \; \longrightarrow \; \int_{0}^{+\infty}\delta(r)f(r)dr$$

можно определить в принципе как угодно.

[AD]

Ага, дошло. А тогда как именно определено $\delta(r)$ в первом сообщении?

[мат-ламер]

Можно попробовать действовать и так. Интеграл от одномерной функции Дирака равен 1. В трёхмерном случае это, наверное, также справедливо. Тогда надо взять тройной интеграл в полярных координатах от функций, приведенных в вопросе. Там, где получится 1, там и правильный ответ.

[вздымщик Цыпа]

мат-ламер в сообщении #182504 писал(а):

Тогда надо взять тройной интеграл в полярных координатах от функций, приведенных в вопросе.

Так о том и был разговор, что с дельта-функцией на полуоси, которой яляется $r$ в полярных (или сферических) координатах, не все в порядке.

[мат-ламер]

По-моему, надо обратиться к российским источникам. Может быть посмотреть Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. Или книгу Владимирова по уравнениям математической физики. Разногласие, наверное возникло от того что некоторые считают, что дельта-функция на луче есть половина от дельта-функции на прямой. В дельта-функции главное, не то, что интеграл от неё равен 1, а то что свёртка её с другой функцией, равна значению той функции в какой-либо точке (т.е. - это линейный функционал). Так что может быть, что разные авторы по-своему определяя дельту-функцию, при решении конкретных примеров придут к одному ответу.

[nckg]

AD писал(а):

А тогда как именно определено $\delta(r)$ в первом сообщении?

В этом и вопрос:) Судя по всему, там подразумевается обычная $\delta$-функция.

мат-ламер писал(а):

По-моему, надо обратиться к российским источникам. Может быть посмотреть Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. Или книгу Владимирова по уравнениям математической физики. Разногласие, наверное возникло от того что некоторые считают, что дельта-функция на луче есть половина от дельта-функции на прямой. В дельта-функции главное, не то, что интеграл от неё равен 1, а то что свёртка её с другой функцией, равна значению той функции в какой-либо точке (т.е. - это линейный функционал). Так что может быть, что разные авторы по-своему определяя дельту-функцию, при решении конкретных примеров придут к одному ответу.

У Владимирова в УМФ не обсуждается данный вопрос.

С учётом высказанных утверждений я постепенно прихожу к выводу, что записать
дельта-функцию в сферических координатах через обобщённые функции из $D'(\mathbb R^3)$ - это примерно то же самое, что мерять длину в килограммах:). Вот почему:

1) Раз в правой части стоит $\delta(r)$, значит мы можем записать действие
$(\delta(x,y,z),\phi(x,y,z))=(...\cdot\delta(r),\psi(r,\theta,\varphi)),$
где $\phi(x,y,z)\in D(\mathbb R^3)$, а $\psi(r,\theta,\varphi)=\phi(x,y,z)$ -- запись функции $\phi$
в сферических координатах. (многоточие означает множитель, несущественный для данного рассуждения)
2) Но $\psi(r,\theta,\varphi)\notin D(\mathbb R^3)$, и вообще говоря, дельта-функция на ней не определена.

[Mousy]

$\psi(r,\theta,\varphi)\notin D(\mathbb R^3)$ -- не совсем понятно это утверждение. Вы считаете, что $(r,\theta,\varphi)\in \mathbb R^3$, или что это координаты на $\mathbb R^3$? Второе выглядит логичнее. Тогда для перехода к $\delta(\bf{r}-\bf{r}_0)$ потребуются дельта-функции от угловых координат, являющиеся распределениями на окружности. Вообще, может, не мучиться, а просто дать своё определение $\delta(r)$ и использовать его далее? Ясно же, что это не обычная дельта-функция на прямой и что этот функционал нужно отдельно определять.

[nckg]

Под $\psi(r,\theta,\varphi)\notin D(\mathbb R^3)$ я имел в виду что функция $\psi(r,\theta,\varphi)$
определена лишь при $r\in[0,+\infty)$, $\theta\in[0,\pi]$ и $\varphi\in[0,2\pi]$ и даже если мы доопределим её для остальных $r, ~\theta,~\varphi$, то она не будет как минимум финитной (периодичность по $\varphi$), и, следовательно, основной (т.е. из $D(\mathbb R^3)$).

Mousy писал(а):

Тогда для перехода к $\delta(\bf{r}-\bf{r}_0)$ потребуются дельта-функции от угловых координат, являющиеся распределениями на окружности.

Не только, там ещё с $r<0$ нужно разобраться.

Mousy писал(а):

Вообще, может, не мучиться, а просто дать своё определение $\delta(r)$ и использовать его далее? Ясно же, что это не обычная дельта-функция на прямой и что этот функционал нужно отдельно определять.

Это можно, но тогда надо в правой части писать не $\delta(r)$, а $\widetilde\delta(r)$ и отдельно оговаривать определение $\widetilde\delta(r)$
Авторы определений, цитированных мной в первом посте, этого не сделали.
(Поэтому я и написал курсивом "через обобщённые функции из $D'(\mathbb R^3)$")
(кстати, я думаю, что при определённом подходе можно обойтись одной $\widetilde\delta(r)$ --- без $\widetilde\delta(\varphi)$ и $\widetilde\delta(\theta)$).

Всё это имхо важно, поскольку если кто-то запишет своё уравнение в сферических координатах,
то, предполагая что $\widetilde\delta(r)=\delta(r)$, теоретически можно сделать ошибку - например если использовать какое-нибудь преобразование Фурье.

[Хорхе]

Я вот как думаю. Для дельта-функции понятие "значения в точке" не имеет смысла, а поэтому все попытки определить, как она "выглядит в полярных координатах" --- гадание на кофейной гуще.