Немонохроматический гауссов пучок

[_Олег_]

Есть немонохроматическое излучение, которое является гауссом по пространственным координатам, но зависимость интенсивности излучения от длины волны произвольна. Известно только, что эта зависимость имеет вид колокольчика. Правильно ли я понимаю, что выражение для комплексной амплитуды будет следующим:

$$A(x,y,z,t)= \frac {A_0} {(1+i\tau)} exp(-(x^2+y^2)/(\rho_0^2(1+i\tau)))function(\mu)$$

,

где волновое число

$$k$$

(оно входит в

$$\tau$$

) берётся не для центральной линии излучения, а является функцией частоты, т.е

$$k(w)$$

? Или его можно взять только для центральной линии?

$$A(x,y,z,t)-$$

комплексная амплитуда излучения

$$\rho_0 - $$

радиус пучка в центре перетяжки

$$\tau = \frac {2(z-z_0)} {k\rho_0^2}$$

$$z_0 - $$

координата центра перетяжки

$$k - $$

волновой число

$$A_0-$$

амплитуда пучка в центре перетяжки

$$\mu=t-z/c$$

-локальное время

$$function - $$

некая произвольная функция

А второй вопрос следующий. Нужно получить аналогичное выражение для комплексной амплитуды излучения, но с учётом дисперсии линзы, которая фокусирует это излучение. То есть на линзу падает волна:

$$A(x,y,z,t)= A_{01}function(\mu)$$

Как выглядит оператор линзы с учётом дисперсии материала линзы?
Если импульс короткий (продольный пространственный размер меньше толщины линзы), то, наверное, нужно учитывать и групповое запаздывание?

$$A_{01}=A_{01}(x,y) $$

[AlexNew]

Цитата:

Правильно ли я понимаю, что выражение для комплексной амплитуды будет следующим:

нет не правельно, геометрия пучка и фаза не зависят от интенсивности.

у вас две переменные r, z, в которых вы можете построить распред интенсивности, теперь можете добавить еще и длинну волны и строить график в 4D, : ) или 3D поверхность на каком нибудь сечении z

Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд:

Цитата:

Как выглядит оператор линзы с учётом дисперсии материала линзы?

все как обычно, но фаза зависит от длины волны.

[_Олег_]

В написанной формуле для комплексной амплитуды нет зависимости геометрии и фазы от интенсивности. Геометрия - гауссова, а фазу можно увидеть, записав:

$$exp(-\frac {x^2+y^2} {\rho_0^2(1+i\tau)})=exp(-\frac {x^2+y^2} {\rho^2})exp(ik \frac {x^2+y^2} {R(z)})$$

, где

$$\rho^2=\rho_0^2+4(z-z_0)^2/(k^2\rho_0^2)$$

$$R(z) - $$

радиус кривизны

Дело в том, что я не понимаю важную вещь. Можно записать выражение для комплексной амплитуды монохроматического гауссова пучка:

$$A(x,y,z,t)= \frac {A_0} {(1+i\tau)} exp(-\frac {x^2+y^2} {\rho_0^2(1+i\tau)}),

где ясно, что волновое число - это именно число, а не функция, т.е. волновой число для одной частоты.
Далее. Можно записать выражение для комплексной амплитуды импульса излучения, пусть он тоже гауссов:

$$A(z,t)= {A_0}exp(-\frac {\mu^2} {\tau_0^2}),

$$\mu=t-z/c$$

-локальное время

Но как записать выражение для импульса не в плоских волнах, а с учётом фокусировки? Какое там будет волновое число в пространственной части выражения?
Вид опертора с учётом дисперсии линзы, вроде, понятен:

$$exp(-ik(w)(x^2+y^2)/2F)$$

(без учёта группового запаздывания). Но что делать потом, чтоб получить нужное выражение для комплексной амплитуды? Решать параболическое уравнение с граничным условием? Опять же я не понимаю, какое волновое число стоит в мнимом коэффициенте диффузии параболического уравнения (для центральной линии или функция частоты).

Вообще, мне всё это надо, чтоб записать выражение для излучения непрерывного лазера с широким спектром (в предположении, что по пространственным координатам гауссов). Но я не уверен в правильности хода мыслей. Я не могу понять:
1) какое волновое число в пространственной части
2) ширину спектра я хочу загнать во временную часть, но мне не понятен тогда смысл нормирующего множителя

$$\tau_0$$

. В случае импульса это длительность. А в случае непрерывного излучения?
3)что делать в случае, когда нужно учесть дисперсию линзы

[AlexNew]

к сожалению я вас не понимаю...

Цитата:

импульса излучения...
Можно записать выражение для комплексной амплитуды импульса излучения, пусть он тоже гауссов

у вас есть короткий импульс, раскладываете его в ряд фурье, получаете широкий спектр с распред. амплитудных коэффициентов по частотам.

Для каждого волнового числа у вас получится гаусов пучок. Для каждой монохромотической волны вы знаете что делать, в том числе и с линзои, показатель преломления подставляете верный из закона дисперсии.
Готово.

На выходе просумируйте и перейдите обратно в временную область.

Цитата:

Вообще, мне всё это надо, чтоб записать выражение для излучения непрерывного лазера с широким спектром

теперь у вас уже непрерывное излучение?

Цитата:

ширину спектра я хочу загнать во временную часть

непрерывный спектр в временную область?

напишите все подробно

мне кажется у вас путаница между спектром импульса и широким спектром непрерывного излучения, тсюда и желание его во временную область загнать

[_Олег_]

Да, Вы правы, путаница.
У меня есть непрерывное излучение с широким спектром (гаусс по пространству, зависимость от времени - некоторая функция). Нужно записать, как оно фокусируется с учётом дисперсии линзы (не понятно ещё, нужно учитывать групповое запаздывание внутри линзы или нет).

Сначала я не учитывал дисперсию линзы. Комплексная амплитуда излучения должна удовлетворять уравнению:

$$ \frac{\partial}{\partial z} A(x,y,z,t) + \frac 1 u \frac{\partial}{\partial t} A(x,y,z,t) - \frac 1 {2ik} \triangle A(x,y,z,t) = 0$$

(лапласиан по поперечным координатам)

$$u-$$

групповая скорость

Гаусс, являющийся решением уравнения при

$$\frac 1 u = 0$$

:

$$A(x,y,z)= \frac {A_0} {(1+i\tau)} exp(-(x^2+y^2)/(\rho_0^2(1+i\tau)))$$

$$\rho_0 - $$

радиус пучка в центре перетяжки

$$\tau = \frac {2(z-z_0)} {k\rho_0^2}$$

$$z_0 - $$

координата центра перетяжки

$$k - $$

волновой число

$$A_0-$$

амплитуда пучка в центре перетяжки

Теперь мне нужно учесть ширину спектра, т.е. записать решение уравнения, когда групповая скорость отлична от нуля. Как это сделать, я не понимаю.
И ещё нужно сделать то же самое, но с учётом дисперсии матерала линзы.

[AlexNew]

забудте про груповую скорость, решайте для монохраматически волн, а в конце все собирете