Интеграл, похожий на эллиптический

[Заятсъ]

Имеется интеграл
$\int \sqrt{1+\frac{1}{x^3}} dx$
Его нужно посчитать. Он ужасно похож на что-то эллиптическое, но как-то он у меня плохо приводится к нормальным формам. Пните меня, пожалуйста, в нужном направлении.

[V.V.]

Неопределенный интеграл Mathematica 5.0 не взяла. Может, интеграл у Вас определенный, раз Вы говорите об эллиптическом?

[Заятсъ]

Maple 11 его взяла неопределённым и выдала два листа А4 с интегралами первого и второго рода. Параметры у них все на одно лицо: троечки и корни. Когда мапл выводит такое, я всегда руками считаю, и получается много-много короче. Как здесь начать корректный привод, я не понимаю.

[Полосин]

$$ \int \sqrt{1+x^{-3}}dx=x\sqrt{1+x^{-3}}-3J $$

,

$$ J=-\int \frac { x^{-3}dx } {2 \sqrt{1+x^{-3}} }=(x=t^{-2})=\int \frac {t^3 dt}{\sqrt{t^6+1}}= \frac{\sqrt{t^6+1}}{t^2+1+\sqrt 3}-\frac{3^{1/4}}6((3-\sqrt 3)F(\psi,k)-6E(\psi,k)) $$

,

$$ \psi=\arccos \frac {t^2+1-\sqrt 3}{t^2+1+\sqrt 3} $$

,

$$ k=\sin \frac{5\pi}{12}=\frac {\sqrt{2+\sqrt3}}{2} $$

[Заятсъ]

Спасибо большое!!

[maxal]

Mathematica 7 его тоже берет с довольно страшным результатом, в чём можно убедиться на http://integrals.com

[Sonic86]

А это случайно не интеграл от биномиального дифференциала? Так для него критерий есть интегрируемости и подстановки.
То есть от функции $f(x)=x^m(a+bx^n)^p$. Берется при целых: $p, \frac{m+1}{n}, \frac{m+1}{n}+p$. Вот если проверить что получится... Ну не берется!
А есть какой-нибудь критерий для разрешимости интегралов от биномиальных дифференциалов в элементарных функциях и в эллиптических интегралах 1,2 рода?