2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл, похожий на эллиптический
Сообщение29.01.2009, 23:41 
Имеется интеграл
$\int \sqrt{1+\frac{1}{x^3}} dx$
Его нужно посчитать. Он ужасно похож на что-то эллиптическое, но как-то он у меня плохо приводится к нормальным формам. Пните меня, пожалуйста, в нужном направлении.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 00:01 
Неопределенный интеграл Mathematica 5.0 не взяла. Может, интеграл у Вас определенный, раз Вы говорите об эллиптическом?

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 00:23 
Maple 11 его взяла неопределённым и выдала два листа А4 с интегралами первого и второго рода. Параметры у них все на одно лицо: троечки и корни. Когда мапл выводит такое, я всегда руками считаю, и получается много-много короче. Как здесь начать корректный привод, я не понимаю.

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 00:25 
$$
\int \sqrt{1+x^{-3}}dx=x\sqrt{1+x^{-3}}-3J
$$,
$$
J=-\int \frac { x^{-3}dx } {2 \sqrt{1+x^{-3}} }=(x=t^{-2})=\int \frac {t^3 dt}{\sqrt{t^6+1}}=
\frac{\sqrt{t^6+1}}{t^2+1+\sqrt 3}-\frac{3^{1/4}}6((3-\sqrt 3)F(\psi,k)-6E(\psi,k))
$$,
$$ \psi=\arccos \frac {t^2+1-\sqrt 3}{t^2+1+\sqrt 3} $$, $$ k=\sin \frac{5\pi}{12}=\frac {\sqrt{2+\sqrt3}}{2} $$

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 00:31 
Спасибо большое!!

 
 
 
 
Сообщение30.01.2009, 03:48 
Аватара пользователя
Mathematica 7 его тоже берет с довольно страшным результатом, в чём можно убедиться на http://integrals.com

 
 
 
 
Сообщение31.01.2009, 08:43 
А это случайно не интеграл от биномиального дифференциала? Так для него критерий есть интегрируемости и подстановки.
То есть от функции $f(x)=x^m(a+bx^n)^p$. Берется при целых: $p, \frac{m+1}{n}, \frac{m+1}{n}+p$. Вот если проверить что получится... Ну не берется!
А есть какой-нибудь критерий для разрешимости интегралов от биномиальных дифференциалов в элементарных функциях и в эллиптических интегралах 1,2 рода?

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group