Подобрать сумму

[bot]

А в чём проблема-то? Вот, ... по биному и раскладывайте.

[Falex]

Да все Ok.Я просто погорячился и написал на форум.

А как мне представить многочлен
P(x,y)=a_0+(a_1\cdot x+b_1\cdot y)+(a_2\cdot x^2+b_2\cdot x\cdot y+c_2\cdot y^2)+.......
в общей форме,т.е. через сумму или суммы?

[bot]

А чем эта форма не нравится?

[Falex]

Ну так так продолжать надо,а надо в общем виде записать,т.е.
P_n(x,y)
А это был пример для P_2(x,y)

[lofar]

Однородный полином степени $d$:

$$ a_{0}x^d+a_{1}x^{d-1}y+\ldots+a_dy^d=\sum_{i=0}^{d}a_ix^{d-i}y^{i}. $$

Общий полином степени $d$:

$$ a_{0}^{(0)} + (a_0^{(1)}x+a_1^{(1)}y)+\ldots+ (a_0^{(d)}x^d+a_{1}^{(d)}x^{d-1}y+\ldots+a_d^{(d)}y^d)=\sum_{k=0}^{d}\sum_{i=0}^{k}a_i^{(k)}x^{k-i}y^{i}. $$

[Falex]

Ага.Как раз то самое.
У меня есть многочлен:
P_n=\sum\limits_{j=0}^n a_j \cdot \lambda_{k}^j
и функция
f_n(z)=\sum\limits_{j=0}^n b_j \cdot z^j
Пусть S_m=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^m
Как мне предствить сумму \sum\limits_{k=1}^n P_n(\lambda_k)\cdot f(\lambda_k\cdot z)
так: S_0 \cdot (что-то1)+S_1\cdot (что-то2)+...S_n\cdot (что-то n)А вот как?
Вот в частности что получается для n=1,2,3.Тут наблюдается некая зависимость,но в общем случае
как представить что-то не приходит в голову:
$\sum\limits_{k = 1}^n {P_1 \cdot f_1 (\lambda _k \cdot z) = n \cdot a_0 \cdot b_0 + S_1 \cdot (z \cdot a_0 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_0 ) + S_2 \cdot z \cdot a_1 \cdot b_1 }$,\\ $\sum\limits_{k = 1}^n {P_2 \cdot f_2 (\lambda _k \cdot z) = n \cdot a_0 \cdot b_0 + S_1 \cdot (analog) + S_2 \cdot (z^2 \cdot a_0 \cdot b_2 + z \cdot a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_0 )} + S_3 \cdot (z^2 \cdot a_1 \cdot b_2 + z \cdot a_2 \cdot b_1 ) + S_4 \cdot z^2 \cdot a_2 \cdot b_2$,\\ $\sum\limits_{k = 1}^n {P_3 \cdot f_3 (\lambda _k \cdot z) = n \cdot a_0 \cdot b_0 + S_1 \cdot (analog) + S_2 \cdot (analog)} + S_3 \cdot (z^3 \cdot a_0 \cdot b_3 + z^2 \cdot a_1 \cdot b_2 + z \cdot a_2 \cdot b_1 + a_3 \cdot b_0 ) + S_4 \cdot (z^3 \cdot a_1 \cdot b_3 + z^2 \cdot a_2 \cdot b_2 + z \cdot a_3 \cdot b_1 ) +\\+ S_5 \cdot (z^3 \cdot a_2 \cdot b_3 + z^2 \cdot a_3 \cdot b_2 ) + S_6 \cdot z^3 \cdot a_3 \cdot b_3$\\

[nworm]

Непонятно пока чего Вы хотите. Может чем-то поможет следующая замена.
Обозначим $g_n(\lambda _k)=f_n(\lambda _kz)=\sum _{j=0}^{n}c_j\lambda _k^j$, где $c_j=b_jz^j$.

[Falex]

У меня есть многочлен:
P_n=\sum\limits_{j=0}^n a_j \cdot \lambda_{k}^j
и функция
f_n(z)=\sum\limits_{j=0}^n b_j \cdot z^j
Пусть S_m=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_{k}^m
Как мне предствить сумму \sum\limits_{k=1}^n P_n(\lambda_k)\cdot f(\lambda_k\cdot z)
так: S_0 \cdot (???)+S_1\cdot (???)+...S_n\cdot (???)А вот как?
Вот в частности что получается для n=1,2,3.Тут наблюдается некая зависимость,но в общем случае
как представить что-то не приходит в голову:
$\sum\limits_{k = 1}^n {P_1 \cdot f_1 (\lambda _k \cdot z) = n \cdot a_0 \cdot b_0 + S_1 \cdot (z \cdot a_0 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_0 ) + S_2 \cdot z \cdot a_1 \cdot b_1 }$
$\sum\limits_{k = 1}^n {P_2 \cdot f_2 (\lambda _k \cdot z) = n \cdot a_0 \cdot b_0 + S_1 \cdot (analog) + S_2 \cdot (z^2 \cdot a_0 \cdot b_2 + z \cdot a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_0 )} + S_3 \cdot (z^2 \cdot a_1 \cdot b_2 + z \cdot a_2 \cdot b_1 ) + S_4 \cdot z^2 \cdot a_2 \cdot b_2$

$\sum\limits_{k = 1}^n {P_3 \cdot f_3 (\lambda _k \cdot z) = n \cdot a_0 \cdot b_0 + S_1 \cdot (analog) + S_2 \cdot (analog)} +\\+ S_3 \cdot (z^3 \cdot a_0 \cdot b_3 + z^2 \cdot a_1 \cdot b_2 + z \cdot a_2 \cdot b_1 + a_3 \cdot b_0 ) +\\+ S_4 \cdot (z^3 \cdot a_1 \cdot b_3 + z^2 \cdot a_2 \cdot b_2 + z \cdot a_3 \cdot b_1 ) + S_5 \cdot (z^3 \cdot a_2 \cdot b_3 + z^2 \cdot a_3 \cdot b_2 ) + S_6 \cdot z^3 \cdot a_3 \cdot b_3$

[nworm]

Может так:

$$\sum_{i=0}^{2n}\sum_{j+k=i,\atop j,k\in \{0,\ldots ,n\}}S_ia_jb_kz^k.$$

[Falex]

Ух-ты.А как это вывести?
Ну вот как я думаю получить.Для начала перемножить ряды по формуле Коши:
(\sum\limits_{j = 0}^n {\lambda _s^j \cdot a_j } ) \cdot (\sum\limits_{j = 0}^n {b_j \cdot \lambda_s^j \cdot z^j } ) = \sum\limits_{j = 0}^n {\sum\limits_{k = 0}^j {a_k \cdot \lambda _s^k \cdot b_{j - k + 1} \cdot \lambda _s^{j - k + 1} \cdot z^{j - k + 1} } } = \sum\limits_{j = 0}^n {\sum\limits_{k = 0}^j {a_k \cdot b_{j - k + 1} \cdot \lambda _s^{j + 1} \cdot z^{j - k + 1} } }

Правильно получается или нет?

[photon]

1) Пожалуйста, привидите в порядок индексы, в частности при $\lambda$
2) Нет - неверно: например у Вас при $b$ получаются отрицательные индексы при $j<k+1$, а они должны быть в диапазоне $[0,n]$
3)

Falex писал(а):

P_n=\sum\limits_{j=0}^n a_j \cdot \lambda_{k}^j

а теперь вы степень у $\lambda$ куда-то потеряли

[Falex]

Индексы привел в порядок.
Я взял конкретную сумму для \lambda_s,s=1,\ldots,n1
А как же правильно перемножить?

[photon]

$\[ \left( {\sum\limits_{j = 0}^n {a_j \lambda _s^j } } \right)\left( {\sum\limits_{i = 0}^n {b_i z^i \lambda _s^i } } \right) = \sum\limits_{i,j = 0}^n {a_j b_i z^i \lambda _s^{i + j} } \]$

[Falex]

А разве так можно делать?
Зачем же тогда нужна формула Коши для перемножения рядов?

[photon]

А вспомните, как вы ручками перемножаете суммы? Каждый член на каждый