Задача для академиков

[Руст]

В книге "Математики тоже шутят"на стр. 129. приведена задача:
В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, $<C=90^0, AB=l$. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранние углы $\alpha,\beta,\gamma$. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
Напимано, что академик Лифшиц не справился за час, Ландау решил за час, Зельдович за 40 минут. Заканчивается вопросом за какое время справитесь с этой задачей вы?
Лично на мой взгляд она настолько проста, что даже не достойна для нашего раздела. Я совсем не люблю геометрические задачи, поэтому ответ получил за целых 10 минут.

[TOTAL]

$$2S_{\triangle}=R \sum_i a_i \ctg(\alpha_i /2)$$

[xaxa3217]

сразу же получил радиус окружности вписанной в основание, но потом долго думал как с двугранным углам перейти

[Imperator]

Откуда можно скачать эту книгу?

[Руст]

Imperator писал(а):

Откуда можно скачать эту книгу?

Я вчера купил в МЦНМО. Где можно скачать не знаю.

[neo66]

Да, задача довольно смешная, на вступительных экзаменах попадаются иногда гораздо труднее. Хотя, с другой стороны, академики-то физические. Для них это экзотика.

[мат-ламер]

По-моему, скорость решения этой задачи зависит от того, насколько давно человек заканчивал школу. Если достаточно давно, то можно забыть, как измеряется двугранный угол.

[vvvv]

Добавлено спустя 5 минут 38 секунд:

TOTAL писал(а):

$$2S_{\triangle}=R \sum_i a_i \ctg(\alpha_i /2)$$

S - это площадь какого треугольника?

Вид сверху.

[Руст]

Основания.

[vvvv]

TOTAL писал(а):

$$2S_{\triangle}=R \sum_i a_i \ctg(\alpha_i /2)$$

Что-то эта формула не работает.В примере не картинке R=0.236 - по формуле
получается R=0.292 ?

[id]

Опустите перпендикуляры на соответствующие стороны основания из точек касания, выразите соотношение между радиусом, длиной данного перпендикуляра и данным двугранным углом.
Получится 3 уравнения, каждое из них умножить на длину соотв. стороны основания, все три уравнения сложить, сумму в левой части выразить через площадь.

[vvvv]

Хм, действительно, получается, что формула верна.
Задачу решал по-другому.Находил центр сферы, а радиус, как расстояние центра сферы до одной из граней.Это больше чем требуется в задаче и сложнее.Это потому, что начал решать с помощью аналитической геометрии, а оказывется здесь достаточно элементарной геометрии.