Задача из Теляковского: отрезок нельзя представить в виде...

[ewert]

Это они (Дьяченки) напрасны. Непустота пересечения замкнутых вложенных шаров -- никакая не задача, а стандартная теорема, отсутствие же чёрточек слева -- не более чем пижонство. И к преды дущей задаче какое отношение имеет -- не понял (правда, и не пытался восстановить их мысли).

[id]

Интервал $(a_2,b_2)$, лежащий строго внутри $(a_1,b_1)$, как раз и будет удовлетворять условию $\overline{(a_2,b_2)} \subset (a_1,b_1)$.

Выбирая каждый раз новый лежащий строго внутри интервал, получим систему, удовлетворяющую условиям задачи, а значит с непустым пересечением.

Но задача, да, очевидна.

[ewert]

да, эта -- да. А вот предыдущая -- нет. И тут не совсем грех даже и на Бэра сослаться, пусть это и не вполне спортивно (да простит меня могущественнейший Brukvalub!)

[Sinus]

Всем спасибо за разнообразные подходы к решению задачи.

[Профессор Снэйп]

Вот похожая, но более простая задача: доказать, что всякая биекция $[0,1]$ на $(0,1)$ имеет бесконечно много точек разрыва.

[id]

Доказывать, видимо, надо от противного, пусть их конечное число.

Показываем, что все разрывные точки - первого рода ( верхний и нижний частные пределы конечны ( т.к. ф-я ограничена ), и равны ( иначе, выбирая подпоследовательности, получим противоречие с биективностью ) ).

Далее, наверно, можно по-разному действовать.

[ewert]

Зачем подпоследовательности? Непрерывная биекция монотонна, поэтому всё сводится к тому, что невозможно разбить промежуток на входе и интервал на выходе на конечные количества отрезков, не нарушая согласованности замкнутых и открытых концов.

[id]

ewert
Да, просто сначала хотел показать, что все точки - первого рода, а так неоптимально вышло.

Далее - может приписать каждой точке разрыва пару скобок ( по тому, какое значение - правое или левое - принимается )? Тогда исходный отрезок будет записан в виде набора скобок, где квадратных на две более, чем круглых. При этом отображаться все это будет как раз наоборот, на две больше круглых, чем квадратных.

[ewert]

Да.

То есть не совсем да, я там неаккуратно выразился. Монотонность биекций на самом деле лишь означает, что установлена общая биекция между конечным набором непересекающихся интервалов суммарной длины 1 на входе и некоторым набором непересекающихся интервалов на выходе. После чего установить биекцию между оставшимися точками уже невозможно -- мощности в любом варианте не совпадают.

[Pyphagor]

Немного не в тему... А в электронном варианте, сборник задач Теляковского, случайно ни у кого нет? Хотел заиметь ее, но так и не нашел в электронном.

[id]

Pyphagor
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9&network=1