Рекуррентная формула Бесселя

[antoshka1303]

Мне нужно доказать вот эту форуму

\[ \frac{d} {{dx}}\left( {x^n J_n \left( x \right)} \right) = x^n J_{n - 1} \left( x \right) \]

Док-во

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) = \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {x^n \left( { - 1} \right)^k \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n} } } \right) = \hfill \\ = \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + 2n} } } \right) = \hfill \\ = \frac{1} {{x^n }}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + 2n} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + 2n - 1} } } \right) = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + 2n} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + 2n - 1} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + 2n - 1} }} {{k!\left( {k + n} \right)!}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + 2n - 1} }} {{k!\left( {k + n - 1} \right)!}}x^{2k + n - 1} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + 2n - 1} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)!}}x^{2k + n - 1} = } \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^n \left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + n - 2} \right)}}x^{2k + n - 1} = } \hfill \\ = \left( {\frac{1} {2}} \right)^n \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n - 1} = } \hfill \\ \end{gathered} \]

что-то нужно сделать с 1/2?

[Руст]

Если вы бы не отделили перед дифференцированием отрицательную степень двойки, т.е дифференцировали так: $\frac{d}{dx} (\frac{x}{2})^{2k+n}=\frac{1}{2}(2k+n)(\frac{x}{2})^{2k+n-1}$, то не ошиблись бы.

[antoshka1303]

а спасибо, сейчас перерешаю

[shwedka]

Нет этой половинки!!!
В последним преобразовании Вы Вы ее и к иксу отправили, и перед суммой поставили. А так все верно!1

[antoshka1303]

исправлено

\[ \begin{gathered} \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{k!\left( {k + n} \right)!}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{k!\left( {k + n - 1} \right)!}}x^{2k + n - 1} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)!}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n - 1} = } \hfill \\ \end{gathered} \]

Замена l=k-1

\[ \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) = - \sum\limits_{l = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^l \frac{1} {{\Gamma \left( {l + 2} \right)\Gamma \left( {l + n - 1} \right)!}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2\left( {l + 1} \right) + n - 1} } \]

\[ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{1} {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + n - 2} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n - 1} = } \]

все рано что-то не нак...

[shwedka]

В четвертой строчке у самой последней Гаммы ошибка. Убрать -2 !!

[antoshka1303]

Убрал -2, итог

\[ \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) = - \sum\limits_{l = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^l \frac{1} {{\Gamma \left( {l + 2} \right)\Gamma \left( {l + 1 + n} \right)!}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2l + n + 1} ;} \]

[Руст]

Мне нужно доказать вот эту форуму

\[ \frac{d} {{dx}}\left( {x^n J_n \left( x \right)} \right) = x^n J_{n - 1} \left( x \right) \]

Док-во

\[ \begin{gathered} \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) = \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {x^n \left( { - 1} \right)^k \frac{2^n} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n} } } \right) = \hfill \\ = \frac{1} {{x^n }}\frac{d} {{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{2^n} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + 2n} } } \right) = \hfill \\ = \frac{1} {{x^n }}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + 2n - 1} } } \right) = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{k!\left( {k + n} \right)!}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} } = \hfill \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{k!\left( {k + n - 1} \right)!}}x^{2k + n - 1} } = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1} {2}} \right)^{2k + n - 1} }} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n } \right)!}}x^{2k + n - 1} = } \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} = \left( \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \frac{1} {{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n - 1} = } \hfill \\ \end{gathered} \]

что-то нужно сделать с 1/2?
Исправил ошибки.

[shwedka]

Что-то не так. В первом посте в 4 строчке почему-то изменился предел суммирования, с 0 на 1. По-моему это зря

[antoshka1303]

это еще почему?

[LynxGAV]

Sovershenno ne razbiraya vse reshenie, toje kajetsya strannim izmenenie predela summirovaniya. Raznitsta mejdu tret'ei i chetvertoi strokoi v tom, chto ti razdelil summu na $x^n$. Pervoe slagaemoe mojno vibrosit', tol'ko esli po-chestnomu podstavit $k=0$ i ubedit'sya, chto ono nul', a ono nul'? =)))

[LynxGAV]

Eshe raz pardon za vmeshatel'stvo, no pohoje Swedka prava. Na $x^n$ ti uje razdelil, ostalos' poluchit' predstavleniye funktsii Besselya n-1 poryadka v vide ryada. I pervoe slagaemoe ne 0.

Ne poimu, chto tut slojnolo .

[LynxGAV]

Rebyata, tut vo vseh postah, nachinaya s pervogo, trivial'naya oshibka . Antoshka, chto takoe funktsiya Besselya $J_{n-1}$ po opredeleniyu?!

PS Shwedka, izvinite. Ya smotrela isklyuchite'no na formuli..

[antoshka1303]

LynxGAV писал(а):

Rebyata, tut vo vseh postah, nachinaya s pervogo, trivial'naya oshibka . Antoshka, chto takoe funktsiya Besselya $J_{n-1}$ po opredeleniyu?!

PS Shwedka, izvinite. Ya smotrela isklyuchite'no na formuli..

\[ J_{n - 1} (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1} {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + n} \right)}}\left( {\frac{x} {2}} \right)^{2k + n - 1} \]

[Руст]

Изменение индекса была в исходном решении автора и я не заметил, поэтому эта ошибка осталась не исправленной.