2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Рекуррентная формула Бесселя
Сообщение03.05.2006, 12:18 
Аватара пользователя
Мне нужно доказать вот эту форуму
\[
\frac{d}
{{dx}}\left( {x^n J_n \left( x \right)} \right) = x^n J_{n - 1} \left( x \right)
\]
Док-во

\[
\begin{gathered}
  \frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) = \frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^n \left( { - 1} \right)^k \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n} } } \right) =  \hfill \\
   = \frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + 2n} } } \right) =  \hfill \\
   = \frac{1}
{{x^n }}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + 2n} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + 2n - 1} } } \right) =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + 2n} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + 2n - 1} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + 2n - 1} }}
{{k!\left( {k + n} \right)!}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + 2n - 1} }}
{{k!\left( {k + n - 1} \right)!}}x^{2k + n - 1} }  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + 2n - 1} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)!}}x^{2k + n - 1}  = }  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

\[
\begin{gathered}
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + n - 2} \right)}}x^{2k + n - 1}  = }  \hfill \\
   = \left( {\frac{1}
{2}} \right)^n \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n - 1}  = }  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]


что-то нужно сделать с 1/2?

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 12:32 
Если вы бы не отделили перед дифференцированием отрицательную степень двойки, т.е дифференцировали так: $\frac{d}{dx} (\frac{x}{2})^{2k+n}=\frac{1}{2}(2k+n)(\frac{x}{2})^{2k+n-1}$, то не ошиблись бы.

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 12:35 
Аватара пользователя
а спасибо, сейчас перерешаю

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 12:37 
Аватара пользователя
Нет этой половинки!!!
В последним преобразовании Вы Вы ее и к иксу отправили, и перед суммой поставили. А так все верно!1

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 12:52 
Аватара пользователя
исправлено
\[
\begin{gathered}
  \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{k!\left( {k + n} \right)!}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{k!\left( {k + n - 1} \right)!}}x^{2k + n - 1} }  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)!}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n - 1}  = }  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Замена l=k-1
\[
\frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) =  - \sum\limits_{l = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^l \frac{1}
{{\Gamma \left( {l + 2} \right)\Gamma \left( {l + n - 1} \right)!}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2\left( {l + 1} \right) + n - 1} } 
\]
\[
 = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{1}
{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + n - 2} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n - 1}  = } 
\]
все рано что-то не нак...

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 13:23 
Аватара пользователя
В четвертой строчке у самой последней Гаммы ошибка. Убрать -2 !!

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 13:40 
Аватара пользователя
Убрал -2, итог
\[
\frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) =  - \sum\limits_{l = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^l \frac{1}
{{\Gamma \left( {l + 2} \right)\Gamma \left( {l + 1 + n} \right)!}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2l + n + 1} ;} 
\]

 
 
 
 Re: Рекуррентная формула Бесселя
Сообщение03.05.2006, 13:52 
Мне нужно доказать вот эту форуму
\[
\frac{d}
{{dx}}\left( {x^n J_n \left( x \right)} \right) = x^n J_{n - 1} \left( x \right)
\]
Док-во

\[
\begin{gathered}
  \frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {x^n J_n (x)} \right) = \frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^n \left( { - 1} \right)^k \frac{2^n}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n} } } \right) =  \hfill \\
   = \frac{1}
{{x^n }}\frac{d}
{{dx}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{2^n}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + 2n} } } \right) =  \hfill \\
   = \frac{1}
{{x^n }}\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + 2n - 1} } } \right) =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {2k + 2n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n + 1} \right)}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{k!\left( {k + n} \right)!}}\left( {k + n} \right)x^{2k + n - 1} }  =  \hfill \\
   = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{k!\left( {k + n - 1} \right)!}}x^{2k + n - 1} }  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{{\left( {\frac{1}
{2}} \right)^{2k + n - 1} }}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n } \right)!}}x^{2k + n - 1}  = }  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

\[
\begin{gathered}
      = \left( \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k \frac{1}
{{\Gamma \left( {k + 1} \right)\Gamma \left( {k + n - 2} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n - 1}  = }  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]


что-то нужно сделать с 1/2?
Исправил ошибки.

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 13:54 
Аватара пользователя
Что-то не так. В первом посте в 4 строчке почему-то изменился предел суммирования, с 0 на 1. По-моему это зря

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 14:06 
Аватара пользователя
это еще почему?

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 14:32 
Sovershenno ne razbiraya vse reshenie, toje kajetsya strannim izmenenie predela summirovaniya. Raznitsta mejdu tret'ei i chetvertoi strokoi v tom, chto ti razdelil summu na $x^n$. Pervoe slagaemoe mojno vibrosit', tol'ko esli po-chestnomu podstavit $k=0$ i ubedit'sya, chto ono nul', a ono nul'? =)))

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 14:45 
Eshe raz pardon za vmeshatel'stvo, no pohoje Swedka prava. Na $x^n$ ti uje razdelil, ostalos' poluchit' predstavleniye funktsii Besselya n-1 poryadka v vide ryada. I pervoe slagaemoe ne 0.

Ne poimu, chto tut slojnolo :roll:.

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 15:10 
Rebyata, tut vo vseh postah, nachinaya s pervogo, trivial'naya oshibka :shock:. Antoshka, chto takoe funktsiya Besselya $J_{n-1}$ po opredeleniyu?!

PS :oops: Shwedka, izvinite. Ya smotrela isklyuchite'no na formuli..

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 15:16 
Аватара пользователя
LynxGAV писал(а):
Rebyata, tut vo vseh postah, nachinaya s pervogo, trivial'naya oshibka :shock:. Antoshka, chto takoe funktsiya Besselya $J_{n-1}$ po opredeleniyu?!

PS :oops: Shwedka, izvinite. Ya smotrela isklyuchite'no na formuli..

\[
J_{n - 1} (x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\left( { - 1} \right)^k } \frac{1}
{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + n} \right)}}\left( {\frac{x}
{2}} \right)^{2k + n - 1} 
\]

 
 
 
 
Сообщение03.05.2006, 15:23 
Изменение индекса была в исходном решении автора и я не заметил, поэтому эта ошибка осталась не исправленной.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group