Предел последовательности

[Руст]

Пусть заданы натуральные числа (на самом деле это верно и для действительных чисел) $2\le m_1<m_2<\dots <m_k$ и положительные действивительные числа $p_1,p_2,\dots ,p_k, \ p_1+p_2+\dots +p_k=1$. Пусть функция f(n) определена по индукции: $f(i)=a_i,1\le i<m_k=m,f(n)=\sum_i p_if([n/m_i]) ,n\ge m$.
1. Доказать, что существует предел последовательности f(n) при n стремящемся к бесконечности.
2. Выразить явно этот предел в случае k=2.

[Руст]

Вношу поправку: среди $p_i,i=1,2,..,k$ не менее два ненулевых (это существенно для существования предела), соответственно k>=2.

[maxal]

В таком виде это неверно.
Например: для $k=2,\ p_1=p_2=1/2,\ m_1=3,\ m_2=9$, $a_1=a_3=\dots=a_7=0$ и $a_2=a_4=\dots=a_8=1$ пределы
$\lim\limits_{n\to\infty} f(3^n) = 0$
$\lim\limits_{n\to\infty} f(2\cdot 3^n) = 1$
не совпадают.

[Руст]

Да. Поэтому ещё одно уточнение. Будем считать все $p_i$ положительными (иначе нулевые слагаемые можно выкинуть). Необходимо, чтобы отношения логарифмов чисел $m_i$ не все были рациональными. Для натуральных $m_i$ это означает, чтобы не все они были степенями некоторого натурального числа а.

[maxal]

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=499130
http://www.mathlinks.ro/Forum/topic-28832.html

[Руст]

Преобразование Лапласа имеет отношение к предельному значению. Однако, доказательство существования и вычисление предела лучше проделать непосредственно.

[maxal]

Типа так?
http://community.livejournal.com/ru_mat ... 6#t3329886

[Руст]

Да примерно так. Применяя рекурентную формулу пока значение не попало в интервал начальных данных получаем:

$$f(n)=\sum_{i=1}^{m-1} f(i)g(i,n),$$

g(i,n) выражается в виде суммы членов вида:

$$\frac{(i_1+i_2+...+i_k)!p_1^{i_1}p_2^{i_2}...p_k^{i_k}}{i_1!i_2!...i_k!} , \ \ ln(i)\le ln(n)-\sum_j i_jln(m_j)<ln(i+1). $$

Одно уточнение: это верно для $m/m_1\le i<m$, а для меньших надо внести уточнение, заключающееся в том, что последним применением является не любой из возможных делителей, а только некоторых. Впрочем при предельном переходе это уточнение не играет роли.

[Руст]

Раз нет интереса закроем тему. Окончательная формулировка этой задачи выглядит так:
Заданы k>1 положительных чисел $p_i,p_1+p_2+...+p_k=1$ и k чисел $x_i,1>x_1>x_2>...>x_k>0$. В случае, когда обратные $1/x_i$ целые числа, необходимо добавить условие о том, что модуль над Z, порождённый элементами $y_i=-\ln(x_i)$ имел ранг не меньше 2.
Тогда функция, определённая по рекуренции: $f(n)=\sum_i p_if([x_in]) $ имеет предел. Задание начальных данных бывает двух типов:
1. (включающий 0) заданы значения f(i) для всех i с условием $[ix_1]=0$ и рекуренция применяется для остальных.
2. (не включающее 0) заданы все значения f(i) для всех i с условием $[ix_k]=0$ и рекурентция применяется для остальных.

Решение. После применения и приведения выражения к виду:
$f(n)=\sum_i g(i,n)f(i),$
выражающих значение f(n) через начальные значение образуется кусочно постоянная плотность распределения по остаткам в логарифмическом масштабе. Равномерность распределения можно доказать непосредственным вычислением учитывая равномерность остатков, так и путём, что $g_l(i)=max_j g(i,j)-min_j g(i,j),m_k^l\le j<m_k^{l+1}$ уменьшается по геометрической прогрессии по l.
Первым отрезком постоянства является интервал: $(0,y_1)$ для первого случая задания начальных условий и $(y-y_1,y),y=-[-1/x_k]$ для второго случая.
Соответственно, учитывая что на этот интервал попадаем с вероятностью $p_1$ и с вероятностью $(1-p_1)$ на оставшиеся, легко вычисляем предельные значения g(i,n) в первом случае. Я приведу формулы только для случая, когда $1/x_i=m_i$ целые. Тогда $g(i,n)=\frac{\ln(i+1)-\ln(i)}{p_1\ln(m_1)+(1-p_1)\ln(m_k/m_1)}$.
Во втором случае несколько сложнее и формулы приведу только для случая k=2 (делится только на два интервала постоянства плотности), где они выглядят так:
$g(i,n)=\frac{\ln(i+1)-\ln(i)}{p_1\ln(m_1)+(1-p_1)\ln(m_k/m_1)}, m_k/m_1\le i<m_k.$
$g(i,n)=\frac{(\ln(i+1)-\ln(i))(1-p_1)}{p_1+(1-p_1)\ln(m_k/m_1)}, i+1\le m_k/m_1.$
Для i, удовлетворяющего условию $m_k/m_1-1<i<m_k/m_1$ приходится считать с учётом двух подинтервалов постоянства плотности распределения.

[Руст]

По сути делится на k интервалов $(\ln_ (m_k)-\ln(m_{i-1}),\ln(m_k)-\ln(m_i)),m_0=1$ c кусочно постоянными плотностями распределения.