Несобственный интеграл от равномерно непрерывной функции

[C0rWin]

Требуется доказать что если несобственный интеграл у равномерно непрерывной функции, на бесконечном отрезке, сходится то предел этой функции когда аргумент стремится к бесконечности сходится к нулю.

[Руст]

Легко доказывается от противного. Если не стремится, то существует а>0 и существует последовательность xn стремящихся к бесконечности, что |f(xn)|>=a>0. Это противоречит одновременому выполнению равномерной непрерывности и сходимости несобственного интеграла.

[C0rWin]

А почему собственно говоря это противоречит равномерной непрерывности?

[Егор]

Немного усложнив рассуждения, можно дать конструктивное доказательство.

Пользуясь равномерной непрерывностью, по заданному $\varepsilon>0$ находим такое $\delta>0$, что
$|f(x+h)-f(x)|<\varepsilon/2$ для любых $x$ и любых $h\in(0;\delta]$.

Положим $\displaystyle I(x,s)=\int_0^s f(x+h)\,dh$.
Пользуясь сходимостью несобственного интеграла, находим такое $\Delta$, что
$|I(x,s)|<\delta\varepsilon/2$ при любых $x>\Delta$ и любых $s>0$.

Тогда при $x>\Delta$ получаем:

$$|I(x,\delta)-f(x)\delta|\le\int_0^\delta |f(x+h)-f(x)|\,dh<\delta\varepsilon/2,$$

$$\delta|f(x)|\le |I(x,\delta)|+\delta\varepsilon/2<\delta\varepsilon,$$

$|f(x)|<\varepsilon$.