Линейность и непрерывность.

[Gortaur]

Не встречал это утверждение в обычных универских курсах, но на уникальность не

претендую.

Итак, пусть $V$ - векторное пространство. $f:V\rightarrow \mathbb{R}$. При этом верно:
1. $f(a+b)=f(a)+f(b),\forall a,b\in V$
2. $f(a)<M, \forall a:|a|=1$.

Тогда:
$f\in C(V)$ тогда и только тогда, когда $f(ka)=kf(a) \forall k\in \mathbb{R}$.

Доказательство:
1. пусть $f(ka)=kf(a) \forall k\in \mathbb{R}$ (то есть $f$ линейна). Тогда:
$f(a+\Delta a)-f(a) = |\Delta a|f(\frac{\Delta a}{|\Delta a|}) < M |\Delta a| \rightarrow 0, \Delta a \rightarrow 0$.

2. Пусть $f$ непрерывна. Для любого $n\in \mathbb{N}$ верно $f(na)=f(a)+...+f(a)=nf(a)$.

Очевидно, что $f(0)=0$, то есть $\forall z\in \mathbb{Z}$ выполнено: $f(za)=zf(a)$.

Пусть $z\neq 0$. $f(z\frac{a}{z})=zf(\frac{a}{z})$, откуда $f(\frac{a}{z})=\frac{1}{z}f(a)$.
Отсюда получим, что $\forall q\in \mathbb{Q}$ выполнено: $f(qa)=qf(a)$.

Рассмотрим $k\in \mtahbb{R}$. Существует последовательность $q_n$, сходящаяся к $k$.

Тогда:

$$ f(ka)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} f(q_n a) =\lim\limits_{n\rightarrow \infty} q_n f(a)=kf(a). $$

[AD]

Что такое $|a|$ и $C(V)$? Пространство предполагается конечномерным, что-ли?

Добавлено спустя 3 минуты 31 секунду:

(убрал уже)

Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды:

А, ну и для любого (пред)нормированного пространства, похоже, верно, да?

Добавлено спустя 3 минуты 44 секунды:

Вообще, рассуждения на эту тему хорошо бы предварять доказательством существования изучаемого объекта. То есть проверю Вас: знаете ли вы хоть одну функцию $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, такую, что $\forall x,y\in\mathbb{R}$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$, но не обязательно $f(yx)=yf(x)$? То есть в случае $\dim V=1$.

[Gortaur]

|a| - некоторая норма на $V$. $C(V)$ - пространство функций, непрерывных на $V$. По-моему конечномерность нигде не используется.

[AD]

Ну в смысле тогда надо говорить, что не "векторное" пространство, а "нормированное".

Добавлено спустя 3 минуты 16 секунд:

Да, ну и, видимо, на пространствах более высокой размерности тоже существование интересующих Вас функций так просто не докажешь. Хотя они есть, да ... В смысле если они есть на многомерном пространстве, то можно ограничить и на одномерное. То есть надо доказывать существование сразу на $V=\mathbb{R}^1$. Вообще, это знаменитая задачка. Решение уравнения $f(x+y)=f(x)+f(y)$ - первая глава во многих учебниках по функциональным уравнениям.

[Gortaur]

Меня они не интересуют я просто обратил внимание на определение линейных функций. Является ли условие вынесения константы необходимым.

[AD]

Не, забавное утверждение, согласен. Просто для его осмысления все-таки надо понять, существует ли изучаемый объект. А то, может быть, из пункта 1 сразу следует $f(ka)=kf(a) \forall k\in \mathbb{R}$? Ну что, Вы уже придумали функцию?

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

Вообще в одномерном случае известно, например, такое утверждение: если $\forall x,y\in\mathbb{R}$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$, и функция $f$ не непрерывна хотя бы в одной точке, то ее график всюду плотен (на плоскости, на которой нарисован).

[Gortaur]

Вообще, учитывая, что $f(x+h)-f(x)=f(h)$, разрывность $f$ в нуле эквивалентна разрывности $f$ всюду на $V$.

Наверняка такую функцию можно построить из какой-нибудь функции Дирихле, суммируя значения функции в аргументах с одинаковыми знаменателями.

[epros]

Gortaur писал(а):

я просто обратил внимание на определение линейных функций. Является ли условие вынесения константы необходимым.

См. эту тему.

[Gortaur]

Тему посмотрел, спасибо. 2 AD: очевидно, что если $f(1)=f_1$, то $\forall q\in \mathbb{Q}$ выполнено: $f(q)=qf_1$.

Остальное можно посмотреть в теме (см. ссылку выше).