Абстрактная алгебра

[Еленочка]

Спасибо, что откликнулись. Я сегодня сдавала экзамен по алгебре сдала на 5.

Я понимаю условие так, Дана система векторов размерности (r+1), n. Ее ранг равен r. Отсюда следует, что имеются r независимых векторов образующих базис. Нужно ответить на 3 вопроса.

В примере Brukvalub ранг равен 3 и соответственно данная группа векторов имеет базис (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1) первый вектор линейно зависимый (совподает со вторым). Возможно данная группа образут подгруппу трехмерного пространства.

А различные базисы получается преобразованием первичной базисной ситемы путем умножения на матрицу преобразования (подобие матрицы поворота) Я об этом читала в (Линейная алгебра И.М. Гельфанд
Date: 1999 глава Преобразование координат при изменении базиса.)

[Brukvalub]

Еленочка в сообщении #180797 писал(а):

Я сегодня сдавала экзамен по алгебре сдала на 5.

Проздравляю!

Еленочка в сообщении #180797 писал(а):

В примере Brukvalub ранг равен 3 и соответственно данная группа векторов имеет базис (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1)

Так у Brukvalubа вектора-то были пятимерные!

[ewert]

Brukvalub в сообщении #180816 писал(а):

Так у Brukvalubа вектора-то были пятимерные!

А какое это имеет значение, коли речь лишь о линейной оболочке.

Впрочем, меня гораздо больше другое волнует: что такое "группа векторов"?...

Впрочем, ещё более впрочем -- какая разница, раз уж всё уже спихнуто...

[Еленочка]

Экзамен-то прошел,но я не хочу, чтобы оставлись пробелы в знаниях. Так что все-таки хочется понять, как решается эта задача

[ewert]

Так я же написал как. Ну могу предложить ещё вариант -- лаконичнее и симметричнее, но чуть менее очевидный.

Берём линейную комбинацию всех $(r+1)$ векторов, обращающуюся в ноль. Она единственна с точностью до умножения на константу. Любой из возможных базисов получается выкидыванием одного из тех векторов, коэффициент при котором в этой комбинации не равен нулю.

[gris]

Всё же ответ на вопрос задачи?
Я думаю, что для того, чтобы был ровно один базис, один из векторов должен быть нулевым.
Для того, чтобы было ровно $s$ базисов, необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор, равный линейной комбинации без нулевых коэффициентов $s-1$ векторов.
Базисы считаются разными, если они отличаются хотя бы( ) парой векторов, даже если у них одинаковые координаты. В нашей системе такая пара может быть только одна.

[Еленочка]

Спасибо gris я завтра подумаю над этим на свежую голову.

Добавлено спустя 4 минуты 23 секунды:

В примере Brukvalub ранг равен 3 и соответственно данная группа векторов имеет базис (1 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 1 0 0) первый вектор линейно зависимый (совподает со вторым). Когда писала то поторопилаь, извините.
данная группа образует подгруппу трехмерного пространства в пятимерном:?: или это что-то не то

[ewert]

Еленочка в сообщении #180858 писал(а):

Возможно данная группа образут подгруппу трехмерного пространства.

Это невозможно во всех смыслах. Что Вы понимаете под словом "группа"?

[Еленочка]

ewert писал(а):

Еленочка в сообщении #180858 писал(а):

Возможно данная группа образут подгруппу трехмерного пространства.

Это невозможно во всех смыслах. Что Вы понимаете под словом "группа"?

Я просто воможно выразилась неправильно со словом группа, скорее я имела ввиду, что это подпространство (трехмерное) в линейном (пятимерном) пространстве

[ewert]

И даже это, буквально говоря, неверно. Подпространством будет их линейная оболочка. Мелочь, казалось бы, но именно такого рода формальности и сбивают Вас с толку.

Кстати, пятимерность тут совсем не при чём. Так же и $n$-мерность векторов в Вашей исходной абстрактной задаче не имеет (для решения) ровным счётом никакого значения.

[gris]

Еленочка, речь идёт о системе векторов, то есть о множестве только из этих векторов. То, в каком пространстве они находятся, не имеет значения. Как не имеет значения величина $n$.
Есть определение системы векторов, базиса системы, ранга системы. Там даже можно не заморачиваться их координатами.
Ну естественно на любую совокупность векторов можно натянуть линейную оболочку. Но в нашем случае это несущественно.
Пока писал ewert всё сказал.

[ewert]

gris в сообщении #180867 писал(а):

Ну естественно на любую совокупность векторов можно натянуть линейную оболочку. Но в нашем случае это несущественно.

Очень даже существенно. Только после погружения в линейное пространство (не очень важно, какое) разговоры о базисах становятся осмысленными.

У меня, собственно, есть подозрение, из-за чего все трудности. Еленочка привыкла к теории групп и пытается подойти к задаче исключительно с этих позиций. А это бесперспективно: линейное пространство -- структура существенно более богатая, чем просто группа.

[Еленочка]

ewert писал(а):

gris в сообщении #180867 писал(а):

Ну естественно на любую совокупность векторов можно натянуть линейную оболочку. Но в нашем случае это несущественно.

Очень даже существенно. Только после погружения в линейное пространство (не очень важно, какое) разговоры о базисах становятся осмысленными.

У меня, собственно, есть подозрение, из-за чего все трудности. Еленочка привыкла к теории групп и пытается подойти к задаче исключительно с этих позиций. А это бесперспективно: линейное пространство -- структура существенно более богатая, чем просто группа.

Я ВАМ обоим благодарна и хотела бы ВАС попросить порекомендуйте что почитать желательно что бы скачать с интернета. Заранее благодарна, а я разберусь и если вы не против то к этому разговору мы вернемся.

[ewert]

Да, наверное, любой учебник по линейной алгебре. Например, отсюда:

http://www.matburo.ru/st_subject.php?p=ag

[Еленочка]

Спасибо. Я скачаю. Можем ли мы потом обсудить эту тему, после того как я разберусь получше?