жордановы формы

[Аленушка]

матрица А порядка 8*8 состоит из двух жордановых клеток: 3*3 для -1 и 5*5 для 0. Найти жорданову форму и жорданов базис А^2.
Совсем не знаю, как сделать.

[er]

хорошая задачка, полезная

а по простому не пробовали?
1. возвести матрицу в квадрат. Несложно.
2. найти корневые подпространства. Понятно, что базисами в корневых подпространствах будут
$ {e_{1}}, e_2, e_3 $ и $e_4, e_5, e_6, e_7, e_8$. Это понятно, но это нужно понимать и доказывать.
3. В каждом корневом подпространстве находим жорданов базис, как обычно. Опорные вектора и т.п. По стандартной процедуре.

Матрица, характерестический многочлен и корневые подпространства простые, так все делается без особых вычислительных проблем.

Проявив сообразительность, жорданов базис и жорданову форму можно выписать сразу.

[Аленушка]

Я, честно говоря, алгебру лет семь назад учила (я - "матанщица" по профессии), и мне так сразу это все не вспомнить! Можно по-подробнее, пожалуйста.

[er]

Подробно совсем - учебник пересказывать.

Я уж сам базис выпишу..

$B=A^2$

В первом корневом подпространстве $B-E=\begin{array}{ccc} 0&2&1\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{array}$

Опорный вектор $v_3=e_3$: $v_2=Bv_3$, $v_1=Bv_2$.

Во втором корневом подпространстве $B=\begin{array}{cccсс} 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array}$

Первый опорный вектор: $v_8=e_8$: $v_7=Bv_8=e_6$, $v_6=Bv_7=e_4$.
Второй опорный вектор: $v_5=e_7$: $v_4=Bv_5=e_5$.

Базис жорданов $v_1,\cdots,v_8$.

Жорданова форма:
1-клетка - $\lambda=1$, размер = 3
2-клетка - $\lambda=0$, размер = 2
3-клетка - $\lambda=0$, размер = 3

[Аленушка]

Большущее спасибо!!!! У меня даже чего-то всплыло на данную тему. И от подружки, которая мне это контрольную подсунула, тоже большое спасибо!
P.S. Обещала еще одну дать порешать...