Анализ дискретных выборок

[barker]

Сразу прошу сильно не пинать - я это учил, но за ненадобностью вылетело. В настоящий момент насущно. Дано:
Дискретная функция должна быть постоянной. Но на промежутке времени А значения дискретной функции напоминают случайный процесс.
После изменения условий на промежутке времени В дискретные значения функции напоминают также напоминают случайный процесс, но с некоторыми отличиями (минимальное и максимальное значения отсчетов, среднее значение отсчетов).
Нужны научные названия критериев, дающих количественную оценку поведения функции до и после. А также как посчитать эти величины.

1) Какой величиной описывается "постоянность" функции? Средним арифметическим или матоожиданием (не помню, откуда мое подсознание знает такое слово:).
2) Какой величиной описывается "случайность" поведения функции? Дисперсией или среднеквадратическим? Как посчитать?
3) Есть ли еще какие-нибудь фундаментальные критерии для задач подобного рода?

Можно ли где в инете почитать об этой области поподробнее в духе "чайников"?

[barker]

Оба-на, нашел что-то http://www.intuit.ru/department/databas ... ing_8.html

Одно непонятно, почему для вычисления дисперсии в знаменателе ставят (n-1)?
Среднее арифметическое я всю жизнь вычислял как сумма выборок разделить на их количество, т.е. на n.

[Someone]

barker писал(а):

Одно непонятно, почему для вычисления дисперсии в знаменателе ставят (n-1)?
Среднее арифметическое я всю жизнь вычислял как сумма выборок разделить на их количество, т.е. на n.

Дело тут в следующем. Пусть у нас $x_1,x_2,\dots,x_n$ - выборка значений случайной величины $X$, полученная в результате независимых измерений, и пусть $\mathrm MX=a$ и $\mathrm DX=\sigma^2$ - математическое ожидание и дисперсия.
Выборочными оценками $a$ и $\sigma^2$ являются выборочное среднее $\bar x_{\text{в}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^nx_k$ и выборочная дисперсия $D_{\text{в}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\bar x_{\text{в}})^2$. При этом оказывается, что $\mathrm M\bar x_{\text{в}}=a$ (оценка математического ожидания несмещённая), а $\mathrm MD_{\text{в}}=\frac{n-1}{n}\sigma^2$ (оценка дисперсии смещённая). Чтобы ликвидировать это смещение, и берут вместо выборочной дисперсии так называемую исправленную выборочную дисперсию $s^2=\frac{n}{n-1}D_{\text{в}}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\bar x_{\text{в}})^2$.
Заметим, что если математическое ожидание $a$ известно, то выражение $\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-a)^2$ даёт несмещённую оценку дисперсии.
А вообще, конечно, лучше читайте учебник. Там это аккуратнее должно объясняться.

[oliva]

От модератора AD:
Слил темы при категоризации, раз уж дальше ссылка сюда идёт всё равно.

Ребята, помогите, пожалуйста, вникнуть в причину смещения выборочной дисперсии.

В литературе (кот. я видел) как-то стыдливо говорится что нужно умножить на n/(n-1), а как это выводится не могу понять?

[PAV]

Вам нужно объяснить причину или формально доказать (рассчитать)?

[--mS--]

Например, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms ... 6.html#le2

[oliva]

PAV писал(а):

Вам нужно объяснить причину или формально доказать (рассчитать)?

Если можно - и то, и то

[PAV]

--mS-- писал(а):

Например, http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms ... 6.html#le2

Firefox меня туда не пускает, предупреждает, что этот сайт может быть небезопасен.

Если "на пальцах", то объяснение такое. В оценке дисперсии

$$ \frac{1}{n}\sum(x_i-\overline{x})^2 $$

проблема заключается в том, что выборочное среднее $\overline{x}$ оценивается по той же выборке $\{x_i\}$. Поэтому отклонение элементов выборки от среднего этой же выборки оказывается, естественно, меньшим, чем до истинного среднего (собственно, на значении $\overline{x}$ достигается минимум указанной суммы). Поэтому оценка оказывается смещенной, причем в меньшую сторону. Точный расчет показывает, что необходимая поправка - это умножение на число $\frac{n}{n-1}>1$.

Если истинное среднее известно или оценивается по независимой выборке, то никакие поправки не требуются, оценка будет несмещенной.

[oliva]

Супер ! Спасибо и за ссылку и за пояснение. Наконец-то дошло