возведение матрицы в любую степень

[kvanttt]

Подскажите пожалуста как возвести квадратную матрицу любого размера в степень A, где A иррациональное число

[ИСН]

Привести к жордановой нормальной форме, а дальше просто.

[ewert]

А для каких целей это надо?

Ну, например, как $A^t\equiv e^{t\ln A}$ (логарифм от матрицы можно корректно определить -- но, естественно, неоднозначно).

[kvanttt]

ewert писал(а):

А для каких целей это надо?

Ну, например, как $A^t\equiv e^{t\ln A}$ (логарифм от матрицы можно корректно определить -- но, естественно, неоднозначно).

Просто интересно. А эта неоднозначность бесконечная, т.е. существует бесконечное количество матриц, удовлетворяющих $ln A$?
Как вообще хотя бы как нибудь найти логарифм - с помощью ряда?

[ewert]

Приводим к жордановой форме. Следим за любой Жордановой клеткой: $J=\lambda I+N$, где $N$ получается из единичной матрицы $I$ сдвигом главной диагонали на одну позицию вправо (т.е. вверх). Представляем логарифм от этой клетки в виде

$$\ln J=\ln\lambda\cdot I+\ln\left(I+{1\over\lambda}N\right).$$

И формально раскладываем второе слагаемое в стандартный ряд Тейлора для логарифма. "В ряд" -- именно формально, фактически эта сумма будет конечной из-за нильпотентности матрицы $N$.
Полученный результат действительно будет логарифмом в том смысле, что будет выполняться тождество $e^{\ln A}\equiv A$ -- потому, что все алгебраические манипуляции с матрицами в данном случае имеют те же формальные свойства (в т.ч. и коммутирование), что и обычные числа.
Неоднозначность полученного таким способом логарифма обусловлена неоднозначностью выбора ветви для $\ln\lambda$ в каждой жордановой клетке.

Для прямого возведения в степень ($J^t$) схема ровно та же. Здесь неоднозначность вызвана неоднозначностью функции $\lambda^t$ для $t\in\mathbb C$ (собственно, при иррациональных $t$ эта неоднозначность именно к неоднозначности соответствующего логарифма и сводится).

[AlexNew]

а к диагональному виду привести сложнее ?

[AD]

AlexNew, это не всегда возможно в принципе. Низачот