2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сепаратрисная диаграмма
Сообщение30.04.2006, 19:25 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Вот есть у нас трехмерное многообразие в нем рассмотрим векторное поле $grad(f)$ и возьмем какую нибудь кривую, например $S^1$ или $R^1$ и выпустим из них траектории поля градиента. Вот утверждается, что их объединение даст нам подмногообразие.
Никак не могу понять почему :( Может кто подскажет?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Сильно сомневаюсь.
Во-первых, из-за структуры функции f у векторного поля градиента могут быть всякие особенности в точках, где градиент равен нулю.
Во-вторых, исходная кривая может кое-где касаться поля, и от этого дополнительные особенности появятся.
В формулировке слова
например $S^1$ или $R^1$
неточны. Не обязательно прямую или окружность можно в многообразие запихнуть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:12 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
А еселе добавить что функция f это функция Ботта, т.е. критические точки организованны в невырожденные подмногообразия.

Слова про окружность и прямую: ну рассматриваем мы одномерные критические подмногообразия f, они связны рассмотрим одно. Вот оно и будет окружностью или прямой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:18 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Забыл добавить, естественно мы рассматриваем малый кусок т.е. a-\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant a

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Возьмите функцию с невырожденным максимумом в нуле и какую-либо кривую вблизи этой точки в качестве начальной. Тогда все траектории пойдут в особую точку и там кончатся. Вот и получится объект с особенностью, типа конуса. Не многообразие.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:41 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Возьмем эпсилон в пол расстояния от кривой до нуля и получим цидиндр

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 09:43 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Хорошо а есле еще добавить что изолированных особых точек нет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Если сильно добавлять, то голова болеть будет.
Изолированная особая точка поля - это, например, локальный максимум или минимум функции f. Вы от такого откажетесь?? Но если, скажем, f принимает максимальное значение вдоль кривой, то легче не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 10:25 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Несомненно зависит от того что дабавлять :) И в каких пропорциях...

А вообще я даже могу вам сказать какие многообразия получаться.
Это будет целиндр или лист мебиуса. И все

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.05.2006, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Не обязательно!!
Нужно потребовать, чтобы исходная кривая была всюду некасательна градиентному полю.
Если не так, то , повторяю, может получиться много что.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.05.2006, 23:30 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
да видимо вы правы!

Итак я делаю вот так
Беру f рассматриваю критическое подмногообразие, это сфера или прямая. Теперь беру только те траектории что входят в нее и тогда получается что хотелось за счет выбора эпсилон и уменьшения онного

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.05.2006, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
lt3km писал(а):
да видимо вы правы!

Итак я делаю вот так
Беру f рассматриваю критическое подмногообразие, это сфера или прямая. Теперь беру только те траектории что входят в нее и тогда получается что хотелось за счет выбора эпсилон и уменьшения онного

Сформулировано совершенно невнятно.

Требования:
1. Кривая не содержит критических точек f.
2.кривая нигде не касательна градиентному полю.
Тогда в малой окрестности кривой, действительно,
траектории заполняют цилиндр либо Мебиуса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 21:24 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
1. Кривая не содержит критических точек f.

Вот это точно не правильно :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 21:28 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
А попросите пример... да пожалуйста
Возьмите любую интегрируему по Лиувиллю гамильтонову систему на 4 мерном многообразии симплектическом и рассмотрите постоянные поверхности уровня. Затем возьмите дополнительный интеграл и рассмотрите особые кривые это в точности окружности индекс у них один т.е. тип седловая особенность функции морса на трансверсали к окружности. И тд и тп Целая книжка есть и не одна

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2006, 21:31 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
На самом деле суть именно в особенности точек кривой.. Пример систем выше помог мне это понять. Есть теоремма фоменко где используются именно такие функции

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group