Сепаратрисная диаграмма

[lt3km]

Вот есть у нас трехмерное многообразие в нем рассмотрим векторное поле $grad(f)$ и возьмем какую нибудь кривую, например $S^1$ или $R^1$ и выпустим из них траектории поля градиента. Вот утверждается, что их объединение даст нам подмногообразие.
Никак не могу понять почему Может кто подскажет?
Спасибо.

[shwedka]

Сильно сомневаюсь.
Во-первых, из-за структуры функции f у векторного поля градиента могут быть всякие особенности в точках, где градиент равен нулю.
Во-вторых, исходная кривая может кое-где касаться поля, и от этого дополнительные особенности появятся.
В формулировке слова
например $S^1$ или $R^1$
неточны. Не обязательно прямую или окружность можно в многообразие запихнуть.

[lt3km]

А еселе добавить что функция f это функция Ботта, т.е. критические точки организованны в невырожденные подмногообразия.

Слова про окружность и прямую: ну рассматриваем мы одномерные критические подмногообразия f, они связны рассмотрим одно. Вот оно и будет окружностью или прямой.

[lt3km]

Забыл добавить, естественно мы рассматриваем малый кусок т.е. a-\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant a

[shwedka]

Возьмите функцию с невырожденным максимумом в нуле и какую-либо кривую вблизи этой точки в качестве начальной. Тогда все траектории пойдут в особую точку и там кончатся. Вот и получится объект с особенностью, типа конуса. Не многообразие.

[lt3km]

Возьмем эпсилон в пол расстояния от кривой до нуля и получим цидиндр

[lt3km]

Хорошо а есле еще добавить что изолированных особых точек нет?

[shwedka]

Если сильно добавлять, то голова болеть будет.
Изолированная особая точка поля - это, например, локальный максимум или минимум функции f. Вы от такого откажетесь?? Но если, скажем, f принимает максимальное значение вдоль кривой, то легче не будет.

[lt3km]

Несомненно зависит от того что дабавлять И в каких пропорциях...

А вообще я даже могу вам сказать какие многообразия получаться.
Это будет целиндр или лист мебиуса. И все

[shwedka]

Не обязательно!!
Нужно потребовать, чтобы исходная кривая была всюду некасательна градиентному полю.
Если не так, то , повторяю, может получиться много что.

[lt3km]

да видимо вы правы!

Итак я делаю вот так
Беру f рассматриваю критическое подмногообразие, это сфера или прямая. Теперь беру только те траектории что входят в нее и тогда получается что хотелось за счет выбора эпсилон и уменьшения онного

[shwedka]

lt3km писал(а):

да видимо вы правы!

Итак я делаю вот так
Беру f рассматриваю критическое подмногообразие, это сфера или прямая. Теперь беру только те траектории что входят в нее и тогда получается что хотелось за счет выбора эпсилон и уменьшения онного

Сформулировано совершенно невнятно.

Требования:
1. Кривая не содержит критических точек f.
2.кривая нигде не касательна градиентному полю.
Тогда в малой окрестности кривой, действительно,
траектории заполняют цилиндр либо Мебиуса.

[lt3km]

1. Кривая не содержит критических точек f.

Вот это точно не правильно

[lt3km]

А попросите пример... да пожалуйста
Возьмите любую интегрируему по Лиувиллю гамильтонову систему на 4 мерном многообразии симплектическом и рассмотрите постоянные поверхности уровня. Затем возьмите дополнительный интеграл и рассмотрите особые кривые это в точности окружности индекс у них один т.е. тип седловая особенность функции морса на трансверсали к окружности. И тд и тп Целая книжка есть и не одна

[lt3km]

На самом деле суть именно в особенности точек кривой.. Пример систем выше помог мне это понять. Есть теоремма фоменко где используются именно такие функции