Несчетность

[daogiauvang]

Доказывать счетность множества $Q$ и несчетность множества $R$;

[TOTAL]

Эти задачи давно решены, читайте учебники.

[daogiauvang]

TOTAL писал(а):

Эти задачи давно решены, читайте учебники.

Дайте мне ссылку............ пожалуйста

[Brukvalub]

http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/5176cfe8ccb988ec0e2f98fa828b8324.djvu

[Профессор Снэйп]

daogiauvang писал(а):

Доказывать счетность множества $Q$ и несчетность множества $R$;

Ну а что Вам известно про мощности? Надеюсь, что такие словосочетания, как теорема Кантора и теорема Кантора-Берштейна для Вас не пустой звук. Если да, то читайте дальше. Если нет --- идите учить теорию.

1) Несчётность $\mathbb{R}$. Известно, что $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ несчётно (по теореме Кантора). Биекция $f : \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0,1]$, задаваемая правилом $f(A) = \sum_{i \in A} 2^{-(i+1)}$ (натуральный ряд начинается с нуля), показывает, что $|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |[0,1]|$. Далее, $|(0,1)| \leqslant |[0,1]| \leqslant |\mathbb{R}|$, так как каждое следующее множество в этой последовательности включает в себя предыдущее. Наконец, $|(0,1)| = |\mathbb{R}|$ в силу биекции $g(x) = \tg \pi(x-1/2)$. Cуммируя всё вышесказанное, по теореме Кантора-Бернштейна заключаем, что $|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |(0,1)| = |[0,1]| = |\mathbb{R}|$.

2) Счётность $\mathbb{Q}$. Имеем $|\mathbb{N}^2| = |\mathbb{N}|$, так как отображение $c(x,y) = \big( (x+y)^2+3x+y\big)/2$ является биекцией. Далее, $|\mathbb{Q}_+| \leqslant |\mathbb{N}^2|$ (здесь $\mathbb{Q}_+$ --- множество неотрицательных рациональных чисел), поскольку отображение $h(x,y) = x/(y+1)$ есть сюрьекция. Поскольку $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}_+$, то из вышесказанного и теоремы Кантора-Бернштейна заключаем $|\mathbb{N}| = |\mathbb{N}^2| = |\mathbb{Q}_+|$ и множество $\mathbb{Q}_+$ счётно. Осталось заметить, что $|\mathbb{Q}_+| = |\mathbb{Q}_-|$ в силу наличия естественной биекции, и множество $\mathbb{Q} = \mathbb{Q}_- \cup \mathbb{Q}_+$ счётно как объединение двух счётных множеств (здесь $\mathbb{Q}_-$ есть множество неположительных рациональных чисел).

P. S. Всякие "диагональные построения" и "пересчёты пар", конечно, хороши, но на роль доказательства не годятся. Так же в геометрии: чёртёж не является доказательством, хотя и помогает его изложению.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #176659 писал(а):

P. S. Всякие "диагональные построения" и "пересчёты пар", конечно, хороши, но на роль доказательства не годятся.

Очень даже годятся, тем паче что конструктивны. А вот предыдущий текст... Значок $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ меня лично уже убил.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

P. S. Всякие "диагональные построения" и "пересчёты пар", конечно, хороши, но на роль доказательства не годятся. Так же в геометрии: чёртёж не является доказательством, хотя и помогает его изложению.

Как вообще определяют, годится ли рассуждение на роль доказательства?
В каком окошке справку надо брать?

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Как вообще определяют, годится ли рассуждение на роль доказательства?
В каком окошке справку надо брать?

Если в ZFC формализуется, то годится на роль доказательства. Если нет, то нет.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #176725 писал(а):

Если в ZFC формализуется, то годится на роль доказательства. Если нет, то нет.

Как формализуется это утверждение в ZFC?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Значок $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ меня лично уже убил.

Что же в нём такого убийственного?

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

ewert писал(а):

Как формализуется это утверждение в ZFC?

Какое из утверждений Вы называете "этим"? Если то, которое цитируете, то оно не формализуется и на роль доказательства не претендует.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

ewert писал(а):

Значок $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ меня лично уже убил.

Что же в нём такого убийственного?

Уже тем, что не расшифровано, а значит -- дальше можно не читать. Нет, конечно, зная доказательство, о чём-то по контексту можно и догадаться...

Профессор Снэйп писал(а):

Если то, которое цитируете, то оно не формализуется и на роль доказательства не претендует.

Ну, значит, его можно не принимать к сведению.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Уже тем, что не расшифровано.

Стандартные обозначения, используемые повсеместно в математической практике, не нуждаются в расшифровке. Если Вы с ними не знакомы, то это свидетельствует лишь о Вашей плохой подготовке!

На будущее: для произвольного множества $X$ через $\mathcal{P}(X)$ принято обозначать множество всех его подмножеств. Посмотрите, например, сюда.

[ewert]

И нифига. Общепринятым обозначением для множества всех подмножеств является $2^X$.

А если Вы считаете, что я придираюсь -- так я ещё и не начинал. Скажем, доказывать счётность множества рациональных чисел со ссылкой на довольно нетривиальную теорему Кантора-Бернштейна -- просто нелепо.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

И нифига. Общепринятым обозначением для множества всех подмножеств является $2^X$.

Википедия ставит $\mathcal{P}(X)$ на первок место! Тем самым подразумевая, что $\mathcal{P}(X)$ более общепринято, чем $2^X$.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #176745 писал(а):

Википедия ставит на первок место!

Нашли, на что ссылаться... А кстати, Википедия в ZFC -- формализована?