Вопросы про аналитическую геометрию.

[Вольтер]

Здравствуйте.

Возникли несколько вопросов.

№1: В задачах про прямую линию на плоскости, а также в задачах про плоскость (например: "Запишите уравнение плоскости проходящей через три точки") после нахождения определителей матрицы построенный на векторах

\[\begin{gathered} {I_1} = {M_1}{M_2} \hfill \\ {I_1} = {M_1}{M_3} \hfill \\ \end{gathered} \]

нужно найти вектор нормали

\[N = (A,B,C)\]

Но, в некоторых примерах задач происходит не совсем понятное мне действие. К примеру, нашли определители матрицы:

\[ - 3i + 30j + 51k\]

А вектор нормали (так в примере написано)

\[N = (1 - 10 - 17)\]

Насколько я понял

\[ - 3i + 30j + 51k\]

поделили на -3, так как 3 наибольшее кратное число, а минус там, чтобы было проще записать (На один знак меньше).

Вот например я решил задачку и у меня получился ответ

\[ - 7x + y + 13z + 25 = 0\]

а в учебнике написано:

\[7x - y - 13z + 25 = 0\]

то есть то же самое уравнение, но умноженное на -1, что убирает один лишний знак. В общем вектор нормали может быть такой же как и определители матрицы или должен быть упрощен, так как я написал выше?


Проверьте правильно ли я решаю задачу пожалуйста!
№2 Известно, что прямая параллельна вектору

\[I(0,9,12)\]

. Найдите длину отрезка этой прямой между плоскостями

\[x + y + z - 3 = 0\]

и

\[x + y + z - 24 = 0\]

Вот как я решаю....

Записываю уравнение прямой праллельной вектору I и проходящей через начало координат (0. 0. 0)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {y = 9t} \\ {z = 12t} \\ \end{array} } \right.\]

Подставляю в уравнение плоскостей -

\[\left\{ \begin{gathered} 9t + 12t - 3 = 0 \hfill \\ t = \frac{1} {7} \hfill \\ 9t + 12t - 24 = 0 \hfill \\ t = \frac{8} {7} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Точки пересечения с плоскостями:

\[\begin{gathered} A(0,\frac{9} {7},\frac{{12}} {7}) \hfill \\ B(0,\frac{{72}} {7},\frac{{96}} {7}) \hfill \\ |AB| = \sqrt {81 + 144} = 15 \hfill \\ \end{gathered} \]

Длина отрезка = 15

Поправьте если я не правильно решил!

[ewert]

на первый вопрос: никто никому ничего и никогда не должен -- как хотите, так и записывайте (если, конечно, в условии явно не оговорено какое-нибудь дополнительное ограничение на коэффициенты).

(хотя Ваши два уравнения неэквивалентны, но это наверняка по рассеянности)

[Вольтер]

ewert писал(а):

на первый вопрос: никто никому ничего и никогда не должен -- как хотите, так и записывайте (если, конечно, в условии явно не оговорено какое-нибудь дополнительное ограничение на коэффициенты).

(хотя Ваши два уравнения неэквивалентны, но это наверняка по рассеянности)

Я имел ввиду, что первый пример это пример из учебника, а второй это то, что я сам решал. Если я правильно понял, нет разницы запишите Вы

\[N = ( - 3,30,51)\]

или

\[N = (1, - 10, - 17)\]

?

[ewert]

если речь только о нормальном векторе -- то решительно никакой разницы (ну разве за исключением правил приличия), а вот знак свободного члена Вы зачем-то зевнули

[Вольтер]

ewert писал(а):

а вот знак свободного члена Вы зачем-то зевнули

Извините пожалуйста, а где это я "зевнул" ? Найти не могу, может я чего-то не понимаю...

Все понял, действительно знак не тот поставил Это от рассяности, извините уж

[gris]

На второй вопрос мона ответить устно. Вычтем из обеих уравнений плоскостей по -3. Тогда конец вектора будет лежать в аккурат на второй плоскости и искомая длина равна его длине, то есть 15 Вы правы, как обычно.

[Вольтер]

Огромное Вам спасибо gris и ewert! Надеюсь больше у меня вопросов не возникнет.