Измеримость графика функции

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста с решением вопроса. Есть такая теорема:

"График непрерывной на компакте функции имеет меру Жордана нуль".

Возникает сразу вопрос, пусть функция разрывна и ограничена на компакте, можно ли подобрать примеры, когда график измерим или не измерим? Всю ночь всей комнатой подбирали, но не смогли...

Вообще, пусть дана функция Римана, тогда на компакте

\[ [0,1] \times [0,1] \]

ее график измерим и мера нуль. Но если сдвинуть каждую точку графика на произвольное число (но чтобы они остались в пределах этого компакта) не ясно, измерим ли график тогда или нет.

[gris]

Что если взять функцию, которая определена на отрезке $[0;1]$ и на любом отрезке, ему принадлежащем, принимает все значения из отрезка $[0;1]$. А в случае, если функция неограничена, неизмеримость разве очевидна?

[ShMaxG]

Случай неограниченности не интересует.
Хорошо, а можно как-нибудь Вашу функцию задать? Т.е. почему можно так определить функцию? На любом отрезке из $[0,1]$ принимает все значения из $[0,1]$, почему это возможно?

[gris]

Только чтобы в любом прямоугольничке, принадлежащем квадрату, находилось несчётное число точек.

[Someone]

Для каждого $n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ разобьём квадрат $I^2=[0,1]\times[0,1]$ на $n^2$ одинаковых квадратов и в каждом выберем по точке, озаботившись, естественно, тем, чтобы эти точки образовывали график некоторой функции. Потом её доопределим на всём отрезке. Технические детали рассмотрите сами.

gris в сообщении #176335 писал(а):

Что если взять функцию, которая на любом подкомпакте принимет все значения из $(0;1)$?

"На любом" - это вряд ли. Но на любом несчётном - можно попробовать. Трансфинитная индукция может потребоваться (до первого ординала мощности континуум). Поскольку каждый несчётный компакт на отрезке (и в метрическом пространстве) содержит несчётный совершенный (без изолированных точек) подкомпакт, достаточно рассматривать только такие.

[gris]

Этого недостаточно, я уже понял. Например, если взять функцию, которая в каждой рациональной точке равна $f(x)= x\cdot 10^n - [x\cdot 10^n]$, где $n$ - номер рационального числа в пhоизвольной нумерации, то график всюду плотно заполняет квадрат. Но его мера равна 0.
Надо ещё и иррациональные числа подвигать.

[ShMaxG]

Во, кажется получилось, спасибо всем!

[Someone]

gris в сообщении #176344 писал(а):

Этого недостаточно, я уже понял. Например, если взять функцию, которая в каждой рациональной точке равна $f(x)= x\cdot 10^n - [x\cdot 10^n]$, где $n$ - номер рационального числа в пhоизвольной нумерации, то график всюду плотно заполняет квадрат. Но его мера равна 0.

Это точно, что всюду плотно?

Речь идёт о мере Жордана, а не о мере Лебега. Если график всюду плотен в квадрате, то он не измерим по Жордану, так как его внешняя мера Жордана равна площади квадрата, а внутренняя - нулю.

[gris]

Да, я почему то забыл, что можно подобрать просто неизмеримое по Жордану. Правда, насчёт моей функции у меня сомнения возникли. Я уже другую функцию придумал, но уже ни к чему, наверное.

[Taras]

"График непрерывной на компакте функции имеет меру Жордана нуль".
Добавлю чуть-чуть от себя: такой график- это цилиндрическое множество(у которого верхняя и нижняя крышечки очень хорошиие - а именно эта функция) и меру Жордана легко посчитать за соответственными теоремами. Но условие непрерывности на компакте -сильное. Его можна заменить на более слабое: достаточно , чтобы обе крышки были заданы на измеримом по Жордану множеству и были интегрируемыми по Риману на этом множестве.