Линейная независимость векторов

[Zhyk]

Помогите, пожалуста, ответить на вопрос к экзамену:
Критерий линейной независимости векторов.
Я знаю критерий линейной зависимости векторов, а о независимости ничего не смог найти.

[gris]

попробуйте отрицание критерия линейной зависимости

выглядеть это должно так: система векторов будет линейно независима тогда и только тогда, когда... А дальше посмотрите в конспектах лекций у старосты группы.

[AD]

В таких случаях надёжнее всего юзать лекции.

Почти наверняка там будет какое-нибудь утверждение, специально озаглавленное именно так, как сформулирован вопрос.

А мы тут вам наговорим верных утверждений, а всё не те будут.

[TOTAL]

А какой может быть критерий кроме определения линейной независимости?

[Techno88]

система векторов будет линейно независима тогда и только тогда когда она не будет линейно зависимой.

[gris]

Ну может быть и такое: не существует линейной комбинации с ненулевыми коэффициентами, равной нулевому вектору.
Или ранг матрицы, составленной из координат векторов, равен их количеству.
Некоторые преподаватели требуют дословного воспроизведения их лекций.

[ewert]

Или, наиболее наглядно: линейная независимость равносильна тому, что ни один из этих векторов не является линейной комбинацией остальных.

А вообще AD прав -- всё это бессмысленно. Кому из лекторов что больше по нраву -- то он и считает критерием.

[Techno88]

Линейно независимы если определитель составленный из их координат не равен нулю. (если не правильно то поправьте )

[Brukvalub]

Techno88 в сообщении #175972 писал(а):

Линейно независимы если определитель составленный из их координат не равен нулю. (если не правильно то поправьте

Какой, к лешему, определитель, если векторов может быть меньше, чем координат? Тогда уж нужно о минорах говорить.

[Techno88]

да чет об этом я не подумал.

[Zhyk]

В том то и беда, что лекции по данной теме нет и нет возможности их достать.
Ну, если определенного ответа на этот вопрос не существует, тогда буду рассказывать все, что знаю про линейно независимые вектора

[Someone]

Zhyk в сообщении #176001 писал(а):

Ну, если определенного ответа на этот вопрос не существует

Определённый ответ существует:

Techno88 в сообщении #175958 писал(а):

система векторов будет линейно независима тогда и только тогда когда она не будет линейно зависимой

Поскольку критерий линейной зависимости Вам известен, этого достаточно.

[Zhyk]

Someone, да, наверное я с этого и начну. Спасибо, что помогли разобраться с вопросом!

[alleut]

или так:
векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда
$\Sigma_{i=1}^n \lambda_i x_i = 0 \Leftrightarrow \Sigma_{i=1}^n \lambda_i^2=0$
$n$ -- число векторов $x_i $, $\lambda_i$ -- скалярные величины.
т.е., говоря простым языком, тогда и только тогда, когда линейная комбинация векторов равна нулю, когда равны нулю все коэффициенты.
(то же, что написал gris)