Фундаментальные свойства степеней

[Коровьев]

Хоть это, по-видимому, и бесполезно, я всё ж покажу, как получаются такие "изумительные" формулы.
Разложим на множители.

$$ a_1^2 - a_1 b_1 + b_1^2 = (a_1 + \varepsilon b_1 )(a_1 + \varepsilon ^2 b_1 ) \\ $$

$$ a_2^2 - a_2 b_2 + b_2^2 = (a_2 + \varepsilon b_2 )(a_2 + \varepsilon ^2 b_2 ) \\ $$

где

$$ \varepsilon ^2 + \varepsilon + 1 = 0 \\$$

Перемножим первый множитель из первого со вторым из второго. Можно и первый с первым, но тогда мы получим другой результат отличный от Вашего, но тоже верный

$$ \alpha = (a_1 + \varepsilon b_1 )(a_2 + \varepsilon ^2 b_2 ) = a_1 a_2 + \varepsilon ^2 a_1 b_2 + \varepsilon a_2 b_1 + b_1 b_2 \\ $$

Так как

$$( a_1 a_2 + b_1 b_2) = - \varepsilon ^2 (a_1 a_2 + b_1 b_2 ) - \varepsilon (a_1 a_2 + b_1 b_2 ) \\ $$

то

$$ \alpha = - \varepsilon ^2 (a_1 a_2 + b_1 b_2 - a_1 b_2 ) - \varepsilon (a_1 a_2 + b_1 b_2 - a_2 b_1 ) = - \varepsilon ^2 a_3 - \varepsilon b_3 \\ $$

Выражения в скобках ничего не напоминают?!
А, ведь, чтобы их получить понадобилось всего несколько строк!
Далее, перемножимвторой множитель из первого на первый из второго. Так как это произведение комплексно сопряжённо с первым то сразу можно записать

$$\bar \alpha = - \varepsilon (a_1 a_2 + b_1 b_2 - a_1 b_2 ) - \varepsilon ^2 (a_1 a_2 + b_1 b_2 - a_2 b_1 )= - \varepsilon a_3 - \varepsilon ^2 b_3$$

И переходя к нормам окончательно получим

$$ N(\alpha )= \alpha \bar \alpha = ( - \varepsilon ^2 a_3 - \varepsilon b_3 )( - \varepsilon ^2 a_3 - \varepsilon b_3 ) = a_3^2 - a_3 b_3 + b_3^2 \\ $$

$$a_3^2 - a_3 b_3 + b_3^2 = (a_1^2 - a_1 b_1 + b_1^2 )(a_2^2 - a_2 b_2 + b_2^2 ) \\ $$

*****

$$(a_1 + \varepsilon b_1 )^n=A_n + \varepsilon B_n$$

А вот это выражение заменит все ваши вымученные выкладки для любой степени. Раскройте скобки, приведите к нормальному виду, перейдите к нормам и узнете, что здесь "поработал не всевышний разум", а начало высшей алгебры.
****
Теперь позвольте пару слов без протокола.
В.Высоцкий.
Не надо мучать форум таким обилием нечитабельных выкладок. Их всё равно никто проверять не будет. Даже если там всё правильно, то этот результат можно получить быстрее и проще используя наработки в высшей алгебре. Заниматься доказательством на уровне знаний Ферма поменьшей мере глупо, а по большой вредно. Вы бесполезно тратите своё время, огромное время, вместо того, чтобы изучить теорию по интересующему Вас вопросу.
В конце концов мозг у примитивных фермистов зацикливается и перестаёт воспринимать новые знания. Доказано. Хорошо, если они находят силы остановиться. Иначе, последствия могут быть и ещё хуже.

[Мат]

Коровьев писал(а):

А вот это выражение заменит все ваши вымученные выкладки для любой степени. Раскройте скобки, приведите к нормальному виду, перейдите к нормам и узнете, что здесь "поработал не всевышний разум", а начало высшей алгебры.

Если бы Вы действительно хотели убедить меня в пользе т.н. "высшей алгебры", то не могли бы Вы средствами высшей алгебры привести решение уравнения:
$x^5+y^5=p^2$ или доказать его неразрешимость? Тогда Вы действительно подтвердите ее "невымученность" и практическую пользу. Я уже не говорю про уравнение:
$x^5+y^5=p^k$, которое, как утверждает автор темы (его методами без высшей алгебры) решено и не имеет решения.

Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд:

случай $2^5+2^5=8^2$ не в счет

[Руст]

Мат писал(а):

$x^5+y^5=p^2$ или доказать его неразрешимость? Тогда Вы действительно подтвердите ее "невымученность" и практическую пользу. Я уже не говорю про уравнение:
$x^5+y^5=p^k$, которое, как утверждает автор темы (его методами без высшей алгебры) решено и не имеет решения.
$2^5+2^5=8^2$ не в счет

Общее решение $x=(a^5+b^5)a,y=(a^5+b^5)b,p=(a^5+b^5)^3$, случай $a=1=b$ указан вами.

[Мат]

Мат писал(а):

случай $2^5+2^5=8^2$ не в счет

Под этим подразумеваются все случаи с невзаимно простыми $x$,$y$ и $p$.
Проясню условие: $x$,$y$ и $p$ - взаимно простые числа

Добавлено спустя 2 часа 8 минут 31 секунду:

Подробнейшим образом изучил сегодня уравнение:

$$\frac{x^5+y^5}{x+y}=p^2$$

.
Оказалось что оно может иметь решения лишь тогда, когда для некоторых целых $a$,$b$ справедливо:
$3a^2+8b^2+4ab=u^2$

Добавлено спустя 1час 15 минут 51 секунду:

Которое решений не имеет ни при каких $a$,$b$. Доказательство рекомендую найти самостоятельно. Таким образом, не только уравнение $x^5+y^5=p^2$, но даже уравнение

$$\frac{x^5+y^5}{x+y}=p^2$$

не может иметь решений ни при каких $x$,$y$.

[Коровьев]

Цитата:

Мат писал:
Если бы Вы действительно хотели убедить меня в пользе т.н. "высшей алгебры", то не могли бы Вы средствами высшей алгебры привести решение уравнения:
или доказать его неразрешимость? Тогда Вы действительно подтвердите x^5 + y^5 = z^2
ее "невымученность" и практическую пользу. Я уже не говорю про уравнение: x^5 + y^5 = z^k , которое, как утверждает автор темы (его методами без высшей алгебры) решено и не имеет решения.

Я подумаю. Могет быть.
Но для начала, доказательство Куммера, хотя оно будет и недоступно для Вас.
Доказательство Куммера теоремы Ферма для показателя 5 для 1-го случая /ни одно из чисел не делится на 5/
Путь
x^5 + y^5 = z^5
Тогда в кольце R( \eta )
\eta - первообразный корень уравнения x^5-1
имеем
x + \eta y = \eta ^k \sigma \alpha ^5
где
\sigma - вещественная единица кольца
\alpha - некое целое число кольца
Но
\alpha ^5 \equiv M(\bmod 5)
M - некое целое рациональное число.
Тогда
x + \eta y \equiv \eta ^k \sigma M(\bmod 5)
Далее
\eta ^{ - k} (x + \eta y) \equiv \sigma M(\bmod 5) \\
Комплексно сопряжённое
\eta ^k (x + \eta ^{ - 1} y) \equiv \sigma M(\bmod 5) \\
Отсюда
\eta ^{ - k} (x + \eta y) \equiv \eta ^k (x + \eta ^{ - 1} y)(\bmod 5) \\
x + \eta y - \eta ^{2k} x - \eta ^{k - 1} y \equiv 0(\bmod 5) \\
Но целое число кольца делится на 5 тогда и только тогда, когда все коэффициенты при \eta делятся на 5
Что по условию не может быть!
*****
Это доказательство годится для всех простых чисел, для которых в кольце R( \eta ) разложение на простые множители однозначно.
Для простых чисео меньше100 это верно лишь для простых 3,5,7,11,13,17,19
Второй случай, когда одно из чисел делится на степень, Вы можете найти в книге Боревича "Теоря чисел". Однако эта книга для специалистов.[/quote]

[Мат]

Любопытно. Согласен. Достойно изучения

Добавлено спустя 55 минут 6 секунд:

Petern1 писал(а):

Ответ МАТУ П о поводу предложении
Уважаемый Мат, я с благодарностью принимаю Ваше пред-ложение. Со своей стороны хочу и Вам предложить. Посмот-рите пункт 5) темы Фундам. Свойства степеней, где речь идет о равенстве суммы кубов квадрату. Быть может она Вам по-кажется актуальной. Где-то я заметил, что Вы занимаетесь квадратичными формами. А это на стыке. Давайте помечтаем. Может быть общими усилиями на форуме мы сможем дока-зать, что сумма кубов не может быть равна не только кубу, но и вообще ни какой степени кроме квадрата. Для 5-ой и7-ой степени у меня такие наработки уже есть. Тогда, мне кажется, равенство суммы кубов квадрату может звучать не плохо. Воз-мите полностью на себя этот вопрос. С благодарностью
Petern1.

Да, действительно, я давно заметил ваши довольно любопытные выкладки (и не только по п.5) и уже даже успел их использовать!
С помощью него я сделал ряд любопытных заключений касательно делимости кубических форм:
При операциях над кубическими формами операции с числами $a^2-ab+b^2$ всегда идут раздельно с операциями над основаниями. Т.е. нельзя никакому разложению $p^2-pq+q^2=(a^2-ab+b^2)(c^2-cd+d^2)$ поставить в соответсвие разложения $p+q=(a+b)(c+d)$. Эти разложения всегда разные, что подтверждает случай $n=3$.
К сожалению, единого общего метода пока нет.
Наработки ваши любопытны, не скрою.
Хорошо. Договорились. Давайте я подумаю над превращением кубов в иные степени кроме 2. Обратите внимание на доказательство мной факта:
$x^5+y^5\neq p^2$
И на последок 2 задачки
1. Докажите, что уравнение $2a^2+12b^2+4ab=p^2$ не имеет решений ни при каких $a$,$b$.
2. Докажите, что уравнение $3a^2+8b^2+4ab=p^2$ также не имеет решений ни при каких $a$,$b$.

[Someone]

Мат в сообщении #175658 писал(а):

даже уравнение $\frac{x^5+y^5}{x+y}=p^2$ не может иметь решений ни при каких $x$,$y$

$$\frac{8^5+11^5}{8+11}=101^2$$

$$\frac{35^5+123^5}{35+123}=13361^2$$

[Мат]

Спасибо, Someone. Ошибся в знаках. Уравнение:
$\frac{x^5+y^5}{x+y}=p^2$ имеет решения, когда:
$4a^2-b^2+2ab=u^2$ - для некоторых $a$,$b$.
Можно обнаружить, что:
$4\cdot 73^2-32^2+2\cdot 73\cdot 32=158^2$
Для заданных чисел $73$ и $32$ имеем систему:
$73^2-32^2=xy=4305$
$x+y=158$
Откуда находим:
$x=123, y=35$

Добавлено спустя 1 час 44 минуты 20 секунд:

Проделав некоторые вычисления:

$$x=\frac{\sqrt{4a^2-b^2+2ab}+\sqrt{3b^2+2ab}}{2}$$

$$y=\frac{\sqrt{4a^2-b^2+2ab}-\sqrt{3b^2+2ab}}{2}$$

Для любых $a$,$b$, удовлетворяющих условиям целостности чисел под корнями, которые тоже найти можно, но сейчас занят другим.

[Мат]

К сожалению данные методы неуниверсальны и малопригодны для изучения других более общих случаев. Например, уже в случае
$x^5+y^5=z^3$ возникнут сложности, которые обойти навряд ли удастся, не говоря про случаи $x^5+y^5=z^k$.
В седьмых же степенях выкладки усложнятся настолько, что будет маловероятным найти решение даже для квадратов. Не говоря про "комплексные" степени такие как 37, 59, 67.
Поэтому я сейчас работаю над другим, более общим методом.

[Petern1]

Ответ МАТу.

Две задачи---решение.

$2a^2+4ab+12b^2=p^2$ $p$ должно $p=2p_1$
$2a^24ab+12b^2=4p_1^2$,$a^2+2ab+6b^2=2p_1^2$
$a$ должно быть четным $a=2a_1$
$4a_1^2+4a_1b+6b^2=2p_1^2$,$2a_1^2+2a_1b+3b^2=p_1^2$

$$a_1^2+2a_1b+b^2+a_1^2+2a_1b+b^2-2a_1b+b^2=p_1^2$$

$2[(a_1^2+b^2)-a_1b]=p_1^2-b^2$
$2(a_1^2+a_1b+b^2)=(p_1-b)(p_1+b)$ Справа должно быть четным, тогда оно четно дважды т.е. 4(…..)
$2(a_1^2+a_1b+b^2)=4(…….)$,$(a_1^2+a_1b+b^2)=2(……)$
Слева при люб. $a,b$---не чет., а справа---чет. До слез обидно, но равны они быть не могут
Вторая задача.

$$3a^2+4ab+8b^2=2a^2+4ab+2b^2+6b^2+a^2=p^2$$

$2(a2+b2)^2+6b^2=p-a^2$,$2[(a+b)^2+3b^2]=(p-a)(p+a)$. Справа надо чет., тогда он дважды, и дальше аналогично первой задаче мы придем к
$a^2+ab+b^2=2(…..), что не равно.
Но, уважаемый Мат, почему или зачем Вы задаете мне эти задачи? Это из какой-то темы, или Вы проверяете на сколько я острый или тупой? Я могу сказать открыто, что я знаю не все. И просьба. Я подправил текст ответа Scepticu, где речь идет о кубах. Если у Вас найдется время и желание, посмотрите пожалуйста. Меня интересует верны или не верны формулы вычисления $a_3,b_3$, при которых $a^2-ab+b^2$ равен кубу. С уважением Petern1

[sceptic]

Petern1 писал(а):

В том месте, где речь идет о сумме 5-ых степеней имеются в виду числа не такие$a(a^5+b^5)$ и $b(a^5+b^5)$ , а числа $a$ и $b$ ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ. И я заметил, что Вы это прекрасно понимаете.

Вот это и нужно было сразу оговаривать в формулировке утверждения. А если попался бы не догадливый читатель и поверил вам на слово? Вот так и рождаются мифы ?

Petern1 писал(а):

И еще к Вам прсьба, уважаемый Sceptic. Скажите Ваше мне-ние о формулах
$a_3=a_1a_2+b_1b_2-a_1b_2$
$b_3=a_1a_2+b_1b_2-a_2b_1$. Их можно считать верными? Можно ли их использовать для дальнейших выкладок? Путь или метод получения этих формул вызывает или не вызывает у Вас доверие?

Можно. Можно. Вызывает.

Почему не исправляете ошибки форматирования текста. Ваш текст по-прежнему неудобочитаем.

[PAV]

Petern1
Ваш текст действительно неудобочитаем. Пожалуйста, просматривайте свои сообщения и исправляйте явные ошибки. В последнем сообщении отсутствует закрывающий доллар в последней формуле. И не пишите несколько формул подряд, а либо разделяйте их текстом, либо размещайте на разных строках. Отредактируйте свое последнее сообщение.

[Jnrty]

Jnrty:

Petern1

Неплохо было бы исправить не только последнее сообщение, но также и ещё два:
http://dxdy.ru/post174796.html#174796 - неправильно записаны показатели степеней (Вам же объяснили, как их надо записывать);
http://dxdy.ru/post175454.html#175454 - много ошибок в формулах, что делает их непонятными (видимо, вместо латинских букв используются русские; местами, вероятно, из-за неправильной расстановки знаков доллара, в формулы попали слова, которые, естественно, не читаются).

Может быть, отправить тему в "Карантин", чтобы у Вас появился стимул для исправления? Пока мне этого не хотелось бы.

[Мат]

Petern1 писал(а):

Но, уважаемый Мат, почему или зачем Вы задаете мне эти задачи? Это из какой-то темы, или Вы проверяете на сколько я острий или тупой? Я могу сказать открыто, что я знаю не все. И просьба. Я подправил текст ответа Scepticu, где речь идет о кубах. Если у Вас найдется время и желание, посмотрите пожалуйста. Меня интересует верны или не верны формулы вычисления $a_3,b_3$, при которых $a^2-ab+b^2$ равен кубу. С уважением Petern1

Обе данные задачки относятся к формам, которыми как вы так и я занимаемся и используем, поэтому я подумал что вам было бы интересно их решить. Кроме того, обе данные задачки возникли при решении (хоть и неверном) уравнения

$$\frac {x^5+y^5}{x+y}=p^2$$

. Также, если вы обратили внимание выше после замечания Someone исправленное решение свелось к нахождению почти идентичных условий тем, которые я задал вам в качестве задач:
Решения уравнения

$$\frac {x^5+y^5}{x+y}=p^2$$

описываются формулами:

$$x=\frac{\sqrt{4a^2-b^2+2ab}+\sqrt{3b^2+2ab}}{2}$$

$$y=\frac{\sqrt{4a^2-b^2+2ab}-\sqrt{3b^2+2ab}}{2}$$

Т.е. сводится к нахождению решения системы уравнений:
$4a^2-b^2+2ab=p^2$
$2ab+3b^2=q^2$
которые очень похожи на те, которые я задал вам в качестве задач. Единственное известное мне решение$(a=73;b=32)$
К сожалению решение (и как следствие методы) предложенные вами для решения поставленных мной задач несколько узки и скорее всего, не позволят найти решение данной системы. Если же позволят, то мы сможем увидеть красивейшие формулы общего решения уравнения:

$$\frac {x^5+y^5}{x+y}=p^2$$

С вашей просьбой о кубах я ознакомился. Формулы верны. Но видимо не полны. Возможны и иные решения. Над остальным я работаю.

[Petern1]

Ответ МАТУ Текстуальное сообщение.
Уважаемый Мат, потерял я массу времени и труда на отладку текста в ответ Scepticu. Не шло. Поэтому не просматривал страницы. Но сейчас понял откуда взялись задачи, которые Вы мне давали. Спосибо, и извините меня.
1). По поводу $a^3+b^3=p^2$ Вы правы. Здесь не все, надо развивать. Появятся вопросы, давайте, буду рад ,что смогу.
2)По поводу $a^5+b^5$. Полагаю Вы заметили, что числам
$a^2-ab+b^2$ (от суммы кубов) присуще свойство многозначности, т.е. одно и то же число может быть задано несколькими парами чисел $a,b$. И к-во пар зависит от числа сомножителей в числе $A$. Это можно увидеть в моем ответе Sceptbcu «Сумма кубов».
Так вот числам $A$ от суммы $a^5+b^5=(a+b)*A$ такое свойство не присуще. Они однозначно задаются одной парой чисел $a,b$. Но доказать я это не смог. Если это возможно доказать силами Высшей мате-ки, то добавив к этому две строчки и будет доказано [math]$a^5+b^5$не равно [math[math]$c^5$[math].
Искренне желаю Вам успеха . Petern1