Задача из Демидовича, функциональная последовательность

[Айрат]

Пусть

\[ f_n = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1} {n}} \cdot f(x + \frac{i} {n}) \]

, здесь

\[ f_n \]

- функциональная последовательность.

\[ f(x) \]

- непрерывная на

\[ [ - \infty ; + \infty ] \]

функция. Доказать, что последовательность

\[ f_n(x) \]

сходится равномерно на любом конечном сегменте [a;b].

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n = \int\limits_0^{1} {f(x + t)dt} \]

, то есть последовательность сходится к этому интегралу, интеграл можно представить в виде суммы интегралов

\[ \int\limits_0^1 {f(x + t)dt} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i} {n}}^{\frac{{i + 1}} {n}} {f(x + t)dt} } \]

. Теперь мне надо каким то образом найти

\[ \mathop {\sup }\limits_{[a;b]} \left| {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1} {n}} \cdot f(x + \frac{i} {n}) - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i} {n}}^{\frac{{i + 1}} {n}} {f(x + t)dt} } } \right| \]

, если конечно же я правильно нашел предел от

\[ f_n \]

. Подскажите какие нибудь идеи, пожалуйста.

[Cave]

Айрат
Внесите $\frac 1 n \cdot f(x + \frac i n)$ под интеграл как $\int\limits_{\frac{i} {n}}^{\frac{{i + 1}} {n}} {f(x + \frac i n )dt$, запишите единую сумму интегралов, модуль суммы ограничьте суммой модулей, модуль интеграла ограничьте интегралом модуля и, главное, воспользуйтесь равномерной непрерывностью $f(x)$ на отрезке $[a;b]$.