2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача из Демидовича, функциональная последовательность
Сообщение09.01.2009, 00:50 
Пусть
\[
f_n  = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1}
{n}}  \cdot f(x + \frac{i}
{n})
\], здесь \[
f_n
\] - функциональная последовательность. \[
f(x)
\] - непрерывная на \[
[ - \infty ; + \infty ]
\]
функция. Доказать, что последовательность \[
f_n(x)
\] сходится равномерно на любом конечном сегменте [a;b].


\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n  = \int\limits_0^{1} {f(x + t)dt} 
\], то есть последовательность сходится к этому интегралу, интеграл можно представить в виде суммы интегралов \[
\int\limits_0^1 {f(x + t)dt}  = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i}
{n}}^{\frac{{i + 1}}
{n}} {f(x + t)dt} } 
\]. Теперь мне надо каким то образом найти \[
\mathop {\sup }\limits_{[a;b]} \left| {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1}
{n}}  \cdot f(x + \frac{i}
{n}) - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i}
{n}}^{\frac{{i + 1}}
{n}} {f(x + t)dt} } } \right|
\], если конечно же я правильно нашел предел от \[
f_n
\]. Подскажите какие нибудь идеи, пожалуйста.

 
 
 
 
Сообщение09.01.2009, 21:25 
Айрат
Внесите $\frac 1 n \cdot f(x + \frac i n)$ под интеграл как $\int\limits_{\frac{i} {n}}^{\frac{{i + 1}} {n}} {f(x + \frac i n )dt$, запишите единую сумму интегралов, модуль суммы ограничьте суммой модулей, модуль интеграла ограничьте интегралом модуля и, главное, воспользуйтесь равномерной непрерывностью $f(x)$ на отрезке $[a;b]$.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group