Пусть
![\[
f_n = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1}
{n}} \cdot f(x + \frac{i}
{n})
\] \[
f_n = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1}
{n}} \cdot f(x + \frac{i}
{n})
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/8/9b8b03491f696f1d6fa86e510a70bcf082.png)
, здесь
![\[
f_n
\] \[
f_n
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/4/33446a9790c54d34ee28846ddf45c22e82.png)
- функциональная последовательность.
![\[
f(x)
\] \[
f(x)
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/e/9fef1341e1932684c65d0e52fe1f18b982.png)
- непрерывная на
![\[
[ - \infty ; + \infty ]
\] \[
[ - \infty ; + \infty ]
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/f/0bf74e0836005ad2d27ffb8d48d64a3e82.png)
функция. Доказать, что последовательность
![\[
f_n(x)
\] \[
f_n(x)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/e/aee48efc4c841dff8c229129d2d7d10a82.png)
сходится равномерно на любом конечном сегменте [a;b].
![\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n = \int\limits_0^{1} {f(x + t)dt}
\] \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f_n = \int\limits_0^{1} {f(x + t)dt}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/1/9a1a839d25749b70ba77cce99cc3509982.png)
, то есть последовательность сходится к этому интегралу, интеграл можно представить в виде суммы интегралов
![\[
\int\limits_0^1 {f(x + t)dt} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i}
{n}}^{\frac{{i + 1}}
{n}} {f(x + t)dt} }
\] \[
\int\limits_0^1 {f(x + t)dt} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i}
{n}}^{\frac{{i + 1}}
{n}} {f(x + t)dt} }
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/c/a0c5eb05bcbb35346814883d682b01da82.png)
. Теперь мне надо каким то образом найти
![\[
\mathop {\sup }\limits_{[a;b]} \left| {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1}
{n}} \cdot f(x + \frac{i}
{n}) - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i}
{n}}^{\frac{{i + 1}}
{n}} {f(x + t)dt} } } \right|
\] \[
\mathop {\sup }\limits_{[a;b]} \left| {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\frac{1}
{n}} \cdot f(x + \frac{i}
{n}) - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {\int\limits_{\frac{i}
{n}}^{\frac{{i + 1}}
{n}} {f(x + t)dt} } } \right|
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/e/99ec63ef0eb892bb248e620cddb817c082.png)
, если конечно же я правильно нашел предел от
![\[
f_n
\] \[
f_n
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/4/33446a9790c54d34ee28846ddf45c22e82.png)
. Подскажите какие нибудь идеи, пожалуйста.