Продолжение равномерно непрерывной функции

[Норберт]

Помогите закончить доказательство. Дана равномерно непрерыная функция $f : X \to Y$ на всюду плотном подмножестве $E$ метрического пространства $X$. Нужно показать что если $X$ полно или компактно то у $f$ есть непрерывное продолжение на $X$. Искомым продолжением будет функция $g : X \to Y$ такая что $g(x) = \bigcap\limits_{n=1}^\infty {\overline{f(B(x, \frac{1}{n}))}}$. То что $ Card(\bigcap\limits_{n=1}^\infty {\overline{f(B(x, \frac{1}{n}))}}) = 1$ следует из того что $X$ полно или компактно. То что $f|_{E} = g|_{E}$ проверяется легко. А вот как показать что $g \in C(X,Y)$.

[id]

Вы уверены, что "если $X$ полно или компактно"? Вообще-то, условие должно быть на $Y$.

Схема же тривиальна ( Вам даже можно доказать, что оно будет равномерно непрерывным ). Воспользуйтесь неравенством
$d(f(x'),f(x'')) \leqslant d(f(x'),f(x'_0)) + d(f(x'_0),f(x''_0)) + d(f(x''_0),f(x''))$.
Зафиксировав $\varepsilon / 3$, выберите $\delta$ так, чтобы все три расстояния справа были меньше $\varepsilon / 3$, для второго это условие равномерной непрерывности, для первого и третьего - исходя из продолжения по непрерывности.

[Норберт]

Мдааа, че то я тупанул. Спасиб большое