Работая над теоремами П. Ферма, я обнаружил важные свойства степеней целых чисел.
Прошу участников форума высказать свои суждения об их актуальности, новизне. Могут ли они представить интерес для теории чисел?
Из-за большого объема пришлось излагать очень кратко, в основном результаты . Но я могу дать полные выкладки и пояснения всем, кто проявит интерес к изложенным вопросам.
1) Сумма квадратов .
Произведение двух или более сумм квадратов всегда равно сумме квадратов
. Где
,
Формулы [1],[2] назавем формулы умножения сумм квадратов.
Если в эти формулы вместо
подставить
, то мы получим такие
, сумма квадратов которых будет равна квдрату.
,
,
Если теперь в формулы [1] , [2] вместо
подставим
из формул [3] [4] , то мы получим формулы вычисления таких
, сумма квадратов которых будет равна кубу.
,
Если снова в формулы [1] ,[2] вместо
подставить
из формул [3] ,[4] , а вместо
пдставить
из формул [5] , [6] , то мы получим формулы вычисления таких
, сумма квадратов которых будет равна 5-ой степени.
,
.
Очевидно, что такую процедуру вывода формул можно продолжить и получить формулы вычисления таких
, сумма квадратов которых будет равна любой желаемой степени, до бесконечности.
И так, сумма квадратов может быть равна любой степени, при этом имеет место многозначность чисел
, начиная с кубов.
2) Сумма квадратов с коэффициентом
(коэф.
может быть и при
).
Произведение таких чисел также всегда равно числам такого вида
. Где
Формулы [10],[11]---это формулы умножения.
Формулы для получения степеней:
Квадратов
,
,
Кубов
,
,
Применяя процедуру такую же, как и в пункте 1), мы можем построить формулы вычисления таких
, сумма квадратов которых с коэффиц.
при
будет равна любой желаемой степени.
3). Числа вида ,
Этим числам так же присуще свойство перемножения, так что произведение этих чисел всегда равно числам такого и только такого вида. Полное изложение заняло бы слишком много места , поэтому приведем лишь :
Формулы умножения
,
,
Формулы вычисления квадратов
,
Формулы вычисления кубов
,
Для тех участников форума кто этим заинтересуется, я могу представить полную инфор. о причудливых свойствах этих чисел.
4) n---простое =3 и более.
Так вот оказывается, что эти сомножители
и число в квадратных скобках (многочлен)
при взаимно простых
, являются так же взаимно простыми числами по любому простому числу
, кроме
равного
. Доказать это можно разделив алгебраически многочлен на сумму оснований.
Это сильное свойство, так как из него следует, что это произведение может быть равно степени только в том случае, когда одновременно равны степени сумма оснований и многочлен .
5) Сумма кубов может быть равна квадрату.
Формулы вычисления
таких, сумма кубов которых равна квадрату
,
.
6) Сумма кубов не может быть равна кубу.
Исходя из свойств 3). 4), сумма кубов может быть равна кубу , если кубу равны оба сомножителя
.
Но когда
равен кубу, тогда сумма оснований равна либо
Либо
. И сейчас требуется доказать, что числа [21] и [22] не равны кубу. А это достичь не трудно. И мы получаем совершенно строгое доказательство ВТФ для суммы кубов. И разве оно не «удивительное»?
7) Переход от кубов к 5-ой степени можно сделать следующим образом.
Любой куб равен
. Произведение 3-х последов. чисел + среднее чило. Представим суммой
. Тогда
. Числа в квадратных скобках кубу не равны, что противоречило бы пункту 6)
Любая 5-ая степень может быть записана
. Запишем суммой
Тогда
. В этих записях можно усмотреть обоснование, что числа в квадратных скобках не могут быть равны 5-ой степени. Аналогичные выкладки можно построить и для 7-ой и для любой степ. равной простому числу.
8) О сумме 5-ых степеней.
Второй множитель суммы 5-ых степеней (пятичлен) не обладает свойством умножаться друг на друга, как числа в пунктах 1), 2). 3). Т.е. произведение этих чисел не является числом такого вида, что проверено на большом количестве чисел. Более того пятичленны не равны степеням (кроме 5-ой). Очень похоже на то, что это их фундаментальное свойство.
И если кто-нибудь из участников форума сможет доказать эту гипотезу, то мы превзайдем самого П. Ферма. Мы докажем, что сумма 5-ых степеней не может быть равна ни какой степени. И рапространим это на все n.
9) Доказательство ПОСЛЕДНЕЙ НЕДОКАЗАННОЙ теоремы Ферма: «…невозможно найти среди целых чисел такой квадрат кроме 25 , к которому если прибавить 2 , то получился бы куб…» Т.е. требуется доказать, что равенство
имеет единственное решение
Запишем
. Если такое равенство существует, то оно не изменится , если мы
представим в виде суммы двух чисел
. Тогда
;
;
. Слева сумма квадратов, справа произведение двух чисел. Значит сумма квадратов
равна произведению двух сомножителей. Но эти сомножители могут быть только суммы квадратов, что мы доказали в пункте 1). Поэтому мы можем записать
. Тогда
. Каким бы не было
, но это равенство обязывает его быть суммой квадратов. Поэтому мы в праве записать
. Тогда
_. Далее
и
. В последнем равенстве 3 перед скобкой мешает этому произведению быть квадратом. Чтобы избавиться от этой трудности поступим так:
.Приравняем
, а
; Одну единицу перенесем влево.
;
. Подставим значение
. Слева произведение двух чисел, разность между которыми равна 2. Чтобы справа
было так же равно такому произведению надо, чтобы
. Тогда
. Из равенства
запишем
. Придавая
нечетные числа, будем получать
целые. Подчеркнем, что мы здесь установили точную связь между
и
.
Ранее мы записали
, значит
. Но
.Тогда
. Покажем, что при любом не четном
, число в скобке делится на 4. Пусть
. Тогда
. Число в скобке на 4 делится, значит
есть целое число.
.
. И так выстроилась точная зависимость
от
. А теперь вспомним формулы умножения сумм квадратов
.
В нашем равенстве
, a
. И так
. Подставим сюда значения
.
. Легко убедиться, что при
будем иметь 3-2=1. При
будем иметь 105-30=75, что больше 1. И при любом не четном
большем 3 эта разность не может быть равна 1. А теперь запишем при
.
;
;
.
.
В равенстве
, поэтому можем записать
; 26=26. И возвращаем 1 обратно и
.
C уверенностью можно считать, что именно такое доказательство этой теоремы было построено самим П. Ферма, о котором он говорил «совершенно строгое». Оно достойно восхищения! Применяя этот метод можно доказать, что не существует таких квадратов, к которым если прибавить 3 или 5, то получался бы куб.
10) Задача Ферма о прямоугольных треугольниках.
Используя свойства 1), 2) можно решить задачу Ферма:
«Вычислить все прямоугольные , целочисленные тр-ки с заданной разностью между его катетами». Решение красиво.
Обращение к участникам форума.
Здесь я разместил в основном результаты, без выкладок и пояснений, так как полный материал занимает порядка 40 страниц. Любому кто заинтересуется отдельными вопросами я представлю выводы и пояснения. С уважением Petern1.