«Для каждого квадрата близнеца найдётся проническое, дающее

[GogalNikolay]

\begin{conjecture}
Для каждого простого-близнеца $p$ существует $b \in \mathbb{N}$, $b \geq 2$,
такое что $p^2 + (b^2 - b)$ является элементом пары простых-близнецов.
\end{conjecture}

\begin{theorem}
Данная гипотеза влечёт бесконечность множества простых-близнецов.

\proof
Построим последовательность $\{p_n\}$: $p_0 = 3$,
$p_{n+1}$ --- близнец, для которого $p_n^2 + (b^2 - b) = p_{n+1}$
при некотором $b$. Поскольку $p_n^2 + (b^2 - b) > p_n$ для $b \geq 2$,
последовательность строго возрастает, а значит, содержит
бесконечно много различных простых-близнецов.
\end{theorem}

-- добавлено через 13 минут --

\textbf{Теорема 1 (Пронический мост).}
Пусть $H$ --- следующая гипотеза:

\medskip
\begin{quote}
\textit{Для каждого простого числа-близнеца $p$ существует целое $k \geq 0$ и простое число-близнец $q$ такие, что}

$$ q = p^2 + k(k+1). $$

\end{quote}

\medskip
\noindent
Если гипотеза $H$ верна, то простых чисел-близнецов бесконечно много.

\bigskip
\textit{Доказательство.} Пусть $H$ верна. Возьмём любое число-близнец $p_1$ (например, $p_1 = 3$).
По $H$ существует близнец $p_2 = p_1^2 + k_1(k_1+1)$ для некоторого $k_1 \geq 0$.
Поскольку $p_1 \geq 3$, имеем $p_2 \geq p_1^2 > p_1$.

Применяя $H$ к $p_2$, получаем близнеца $p_3 = p_2^2 + k_2(k_2+1) > p_2$.
Продолжая по индукции, строим бесконечную строго возрастающую последовательность

$$ p_1 < p_2 < p_3 < p_4 < \cdots $$

простых чисел-близнецов. Следовательно, их бесконечно много. \qed

\bigskip
\textbf{Эмпирическое обоснование гипотезы $H$.}

Гипотеза $H$ проверена для всех $121$ простых чисел-близнецов вплоть до $2000$.
Для каждого из них найден пронический мост $k(k+1)$, соединяющий $p^2$
с некоторым большим простым числом-близнецом $q$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|c|r|c|}
\hline
$p$ & $p^2$ & $q$ & мост $k{\times}(k{+}1)$ & $q - p^2$ & пара-близнец \\
\hline
3 & 9 & 11 & $1 \times 2$ & 2 & $(11, 13)$ \\
5 & 25 & 31 & $2 \times 3$ & 6 & $(29, 31)$ \\
7 & 49 & 61 & $3 \times 4$ & 12 & $(59, 61)$ \\
11 & 121 & 151 & $5 \times 6$ & 30 & $(149, 151)$ \\
13 & 169 & 181 & $3 \times 4$ & 12 & $(179, 181)$ \\
17 & 289 & 421 & $11 \times 12$ & 132 & $(419, 421)$ \\
19 & 361 & 433 & $8 \times 9$ & 72 & $(431, 433)$ \\
29 & 841 & 883 & $6 \times 7$ & 42 & $(881, 883)$ \\
31 & 961 & 1033 & $8 \times 9$ & 72 & $(1031, 1033)$ \\
41 & 1681 & 1723 & $6 \times 7$ & 42 & $(1721, 1723)$ \\
43 & 1849 & 1879 & $5 \times 6$ & 30 & $(1877, 1879)$ \\
59 & 3481 & 3823 & $18 \times 19$ & 342 & $(3821, 3823)$ \\
61 & 3721 & 3853 & $11 \times 12$ & 132 & $(3851, 3853)$ \\
71 & 5041 & 5281 & $15 \times 16$ & 240 & $(5279, 5281)$ \\
73 & 5329 & 5419 & $9 \times 10$ & 90 & $(5417, 5419)$ \\
101 & 10201 & 10273 & $8 \times 9$ & 72 & $(10271, 10273)$ \\
103 & 10609 & 11071 & $21 \times 22$ & 462 & $(11069, 11071)$ \\
107 & 11449 & 11491 & $6 \times 7$ & 42 & $(11489, 11491)$ \\
109 & 11881 & 11971 & $9 \times 10$ & 90 & $(11969, 11971)$ \\
137 & 18769 & 19471 & $26 \times 27$ & 702 & $(19469, 19471)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\textbf{Итеративная цепочка.} Начиная с $p_1 = 3$, повторное применение
пронического моста порождает бесконечную последовательность близнецов:

$$ \begin{aligned}p_1 &= 3, \\p_2 &= 3^2 + 1 \cdot 2 = 11, \\p_3 &= 11^2 + 5 \cdot 6 = 151, \\p_4 &= 151^2 + 15 \cdot 16 = 23041, \\p_5 &= 23041^2 + 165 \cdot 166 = 530915071, \\p_6 &= 530915071^2 + 54 \cdot 55 = 281870812614938011, \\&\;\;\vdots\end{aligned} $$

Каждый шаг удваивает количество цифр (поскольку $p_{n+1} \approx p_n^2$),
и каждый $p_n$ --- простое число-близнец.

\bigskip
\textbf{Замечание.} Теорема 1 самостоятельна: она не требует доказательства $H$,
а лишь устанавливает, что $H \Rightarrow$ бесконечность близнецов.
Доказательство $H$ (или хотя бы для «почти всех» $p$) --- следующая задача.

[GogalNikolay]

Эмпирическое подтверждение гипотезы

. Пронические мосты: проверка для всех близнецов до 2000

Гипотеза H проверена для всех 121 простых чисел-близнецов p \leq 2000. Для каждого из них найден пронический мост k(k+1), соединяющий p^2 с некоторым большим простым числом-близнецом q (см. таблицу в формулировке Теоремы 1). Ни одного исключения не обнаружено.

Итеративная цепочка, начинающаяся с p_1 = 3:

p_1 = 3, \quad p_2 = 3^2 + 1 \cdot 2 = 11, \quad p_3 = 11^2 + 5 \cdot 6 = 151, \quad p_4 = 151^2 + 15 \cdot 16 = 23041,

p_5 = 23041^2 + 165 \cdot 166 = 530915071, \quad p_6 = 530915071^2 + 54 \cdot 55 = 281870812614938011, \quad \ldots

Каждый p_n — простое число-близнец. Цепочка удваивает количество цифр на каждом шаге.


Б. Рост числа близнецов между последовательными квадратами

Поскольку p^2 является квадратом простого-близнеца, естественный вопрос: сколько близнецов попадает в интервал [a^2, (a+1)^2] при растущем a?

Гипотеза H требует, чтобы для каждого p нашёлся близнец q > p^2. Если число близнецов между квадратами растёт, то для каждого p^2 доступно всё больше близнецов-кандидатов в качестве q, и гипотеза H становится тем более правдоподобной.

Таблица. Число пар близнецов в [a^2, (a+1)^2] и скользящее среднее по 5 точкам.

[code]
a Интервал Близн. Ср.5 a Интервал Близн. Ср.5
100 [10000, 10201] 5 5,0 1100 [1210000, 1212201] 19 14,6
200 [40000, 40401] 3 6,0 1200 [1440000, 1442401] 13 16,6
300 [90000, 90601] 7 6,0 1300 [1690000, 1692601] 16 17,0
400 [160000, 160801] 9 7,2 1400 [1960000, 1962801] 18 19,0
500 [250000, 251001] 6 9,8 1500 [2250000, 2253001] 19 20,0
600 [360000, 361201] 11 10,8 1600 [2560000, 2563201] 29 21,2
700 [490000, 491401] 16 10,6 1700 [2890000, 2893401] 18 22,6
800 [640000, 641601] 12 12,8 1800 [3240000, 3243601] 22 23,0
900 [810000, 811801] 8 14,4 1900 [3610000, 3613801] 25 21,5
1000 [1000000, 1002001] 17 13,8 2000 [400000

[wrest]

Слоп

[Ende]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.