Ряды

[Brukvalub]

Cave в сообщении #173057 писал(а):

bundos
$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ldots + \ln n > n\ln n$ при $n \geqslant 2$.

А разве нат. логарифм монотонно убывает?

[ИСН]

Со степенями двойки - да, так (одна серия показателей пробегает натуральный ряд, перепрыгивая через квадраты, а другая - оттоптавшись на них же по два раза).
С факториалом - очевидно, что расходится (члены ряда убывают как $1\over n\ln n$, а этого мало).

[ewert]

Во-первых: к чему Стирлинги? Во-вторых: эта оценка -- в ненужную сторону. А в нужную -- тривиальна:

$\ln(n!)<n\cdot\ln(n)$

(после чего ряд расходится по интегральному признаку).

[Really]

Запутался. Не то написал...

Cave в сообщении #173057 писал(а):

$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ldots + \ln n > n\ln n$ при $n \geqslant 2$.

Это тоже неверно.

Правильно так:

$$\frac{1}{\ln n!} = \frac{1}{\ln 2 + \ldots + \ln n} > \frac{1}{ n \ln n}.$$

Добавлено спустя 28 секунд:

Опередили...

[ewert]

Ну, раз уж все хором набросились на этот пример, то для полноты картины: почему сходится ряд

$$\sum{1\over \ln(n)\cdot\ln(n!)}\;?$$

[ИСН]

"Потому что" (это может требовать неких рассуждений, но в общем-то ясно) берётся интеграл $\int\limits^\infty{ dx\over x\ln^2x}$.

[ewert]

Требует, требует. Кто дешевле?

[Brukvalub]

$\frac{1}{{\ln n \cdot \ln (n!)}} < \frac{1}{{n \cdot \ln n \cdot \ln (\frac{n}{e})}}$

[ewert]

опять стирлинги... Отвратительно!

[Brukvalub]

ewert в сообщении #173085 писал(а):

опять стирлинги... Отвратительно!

Ваши предложения?

[ewert]

Банально, сэр. Дело в том, что та самая тривиальная оценка -- она в известном смысле двусторонняя:

$$\ln(n!)>{n\over2}\cdot\ln{n\over2}={n\over2}(\ln(n)-\ln(2))\sim{n\over2}\,\ln(n)$$

(ревнители строгости могут заменить первую двойку на тройку, чтоб не мучиться, но и так верно).

[Cave]

Да, неравенство не в ту сторону, прошу прощения.
С Новым Годом!

[Brukvalub]

ewert в сообщении #173096 писал(а):

Банально, сэр. Дело в том, что та самая тривиальная оценка -- она в известном смысле двусторонняя:

$$\ln(n!)>{n\over2}\cdot\ln{n\over2}={n\over2}(\ln(n)-\ln(2))\sim{n\over2}\,\ln(n)$$

Ну, и чем это лучше Стирлинга?

[ewert]

Тем, что тривиально. Стирлинга же -- попробуй ещё докажи (и, кстати, очень редко кому, кроме будущих профессиональных математиков, это делают).

А что с Новым Годом -- так то разумеется. Прозит!

[bundos]

C

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{\ln n!}$$

понятно, а что насчёт

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^n}$$

?