Ряды

[bundos]

Подкиньте идею насчёт этих рядов: Найти

$$\sum_{k=1, m=1}^\infty\frac1{m^2n+2mn+n^2m} $$

и

$$\sum_{k=1, m=1}^\infty2^{-(3m+n+(m+n)^2)} $$

[Хорхе]

bundos писал(а):

Подкиньте идею насчёт этих рядов: Найти

$$\sum_{k=1, m=1}^\infty\frac1{m^2n+2mn+n^2m} $$

Так, как написано, конечно же, $\infty$
Если все же сумма берется по $m,n$, то нужно просто просуммировать сначала по $m$ (это чрезвычайно стандартно), а потом получившееся просуммировать по $n$ (тут пригодится суммирование по частям). У меня получилось $7/4 = 1,75$.

Проверил в Mathematica - правильно.

[bundos]

Огромное спс, разобрался....

[bundos]

Помогите посчитать ряды

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}\tg\frac1{2^n}$$

,

$$\sum_{n=1, m=1}^{\infty}\frac1{m^2n+2mn+n^2m}$$

и

$$\sum_{n=1, m=1}^{\infty}2^{-(3m+n+(m+n)^2)}$$

.

[ИСН]

bundos, имейте совесть, первые два Вам уже написали, к чему этот перепост.
Третий - не знаю, наверное, как-нибудь по диагонали (в аналогичных условиях, например, $(m+n)^2-3m-n\over 2$ просто пробегает числа 0, 1, 2, 3 ... по разу; ваш случай, видимо, сворачивается к чему-то в этом же роде).

[maxal]

bundos, не дублируйте сообщения!

[bundos]

Исследовать на сходимость ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4\sin\ n}$$

.

[ИСН]

Сводится к мере иррациональности $\pi$, короче говоря - открытый вопрос, если я чего-то не пропустил.

[bundos]

Найти сумму функционального ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}3^n\sin^3\frac{x}{3^n}$$

.

[id]

$3 \sin \alpha - \sin 3\alpha = 4 \sin ^3 \alpha$

Каждый член распишите таким образом, там посокращается.

[bundos]

id
спс

Добавлено спустя 14 минут 4 секунды:

Вот ещё задачка: Найти сумму ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^n}$$

, где

$$<n>$$

- ближаейшее целое число к числу

$$\sqrt{n}$$

.

[bundos]

Получил что

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^n}$$

$=$

$$1+2\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}$$

. Правильно ли это?

Добавлено спустя 1 час 46 минут 42 секунды:

Правильно ли, что ряд

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{\ln n!}$$

сходится?

[Really]

bundos в сообщении #173035 писал(а):

Правильно ли, что ряд

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{\ln n!}$$

сходится?

Удалил сообщение, так как неверно прочитал условие.

[Cave]

bundos
$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ldots + \ln n > n\ln n$ при $n \geqslant 2$.

[Really]

Справедлива оценка:

$$\ln(n!) > \ln\left(\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\right)> n\cdot\ln \left(\frac{n}{e}\right)$$

.