Строение мультипликативных подгрупп в Z_n

[Профессор Снэйп]

Вопрос, наверное, в первую очередь к maxal. Но и к остальным тоже.

Вот берём кольцо $\mathbb{Z}_n$ для произвольного натурального $n$. Среди элементов этого кольца есть ровно $\varphi(n)$ таких, которые обратимы в нём; они образуют мультипликативную абелеву группу. Вопроса два.

1) Есть ли какое-нибудь стандартное обозначение для этой группы?

2) Что известно о разложении этой группы в прямую сумму абелевых подгрупп вида $\mathbb{Z}_{p^k}$, где $p$ --- простое? В частности, если $\varphi(n)$ --- чётное, то верно ли, что в разложении обязательно будет присутствовать слагаемое $\mathbb{Z}_2$?

[bot]

Кажется да - $\mathbb Z_2$ всегда отщепляется.

[AV_77]

bot писал(а):

Кажется да - $\mathbb Z_2$ всегда отщепляется.

Не обязательно: $\mathbb{Z}_{17}^* \cong \mathbb{Z}_{16}$

[Профессор Снэйп]

Первый вопрос почему-то все игнорируют.

Но из сообщения bot в другой ветке я узнал, что группа обозначается $\mathbb{Z}_n^\ast$. Надеюсь, что всё правильно понял.

Добавлено спустя 7 минут 26 секунд:

AV_77 писал(а):

bot писал(а):

Кажется да - $\mathbb Z_2$ всегда отщепляется.

Не обязательно: $\mathbb{Z}_{17}^* \cong \mathbb{Z}_{16}$

Да, действительно, $\mathbb{Z}_p^\ast \cong \mathbb{Z}_{p-1}$ при всех простых $p$. Это так, потому что при простом $p$ кольцо $\mathbb{Z}_p$ является полем, а в поле любая конечная мультипликативная подгруппа --- циклическая.

У меня ещё два вопроса:

3) Может ли число $\varphi(n)$ быть нечётным при $n > 2$?

4) Может ли быть так, что $\mathbb{Z}_n^\ast \not\cong \mathbb{Z}_{\varphi(n)}$?

[AV_77]

Профессор Снэйп писал(а):

4) Может ли быть так, что $\mathbb{Z}_n^\ast \not\cong \mathbb{Z}_{\varphi(n)}$?

Конечно может. Группа $\mathbb{Z}_m$ циклическая, а мультипликативная группа $\mathbb{Z}_n^*$ циклическая только в следующих случаях: $n = p^k$ и $n = 2p^k$ для некоторого простого $p$, $n = 2$, $n = 4$.

[mkot]

Профессор Снэйп писал(а):

3) Может ли число $\varphi(n)$ быть нечётным при $n > 2$?

Нет не может.
В самом деле пусть $n = p_1^{n_1}\cdot p_k^{n_k}\cdot \ldots \cdot p_1^{n_k}$ -- разложение $n$ на простые сомножители. Тогда
$\varphi(n) = p_1^{n_1-1}\cdot (p_1 - 1) \cdot p_2^{n_2-1}\cdot (p_2 - 1)\cdot \ldots \cdot p_k^{n_k-1}\cdot (p_k - 1)$.
Если $n = 2^m$, то $\varphi(n) = 2^m - 2$ при $m>1$ делится на $2$.
Если же имеется $p_i$ не равный $2$, то $p_i - 1$ -- чётное число, следовательно $2 \mathop{|} \varphi(n)$.

[bot]

AV_77 писал(а):

bot писал(а):

Кажется да - $\mathbb Z_2$ всегда отщепляется.

Не обязательно: $\mathbb{Z}_{17}^* \cong \mathbb{Z}_{16}$

Обознался - посчитал, что речь идёт о нециклической $\mathbb{Z}_m^*$.
Я ведь сразу догадался в связи с чем возник вопрос.

[Профессор Снэйп]

Ну теперь из предыдущего обсуждения сразу возникает ещё вопрос:

5) Верно ли, что если группа $\mathbb{Z}_n^\ast$ не циклическая, то она изоморфна $\mathbb{Z}_2 \oplus A$ для некоторой абелевой группы $A$?

[Cave]

Нет, $Z_{p^n q^m}^* \cong Z_{p^n}^* \oplus Z_{q^m}^*$, что при простых $p,q>3$ является суммой двух групп мощности больше двух.
Вообще известен алгоритм для разбиения $Z_n^*$ в прямую сумму циклических (даже лучше в прямое произведение, ведь группа мультипликативная). Для этого число раскладывается в произведение степеней простых, а соответствующая групп в прямое произведение соответствующих подгрупп. При этому случа простого числа 2 рассматривается отдельно ($Z_{2^k}^* не является циклической при $k \geqslant 3$, она сама раскладывается в произведение $<-1>_2 <5>_{2^{k-2}}$ - пятерка для нее является "почти первообразным корнем").
Можно найти и образующие у всех циклических групп, но это сложнее.

[bot]

Да, нецикличность не играет. Играет состав простых делителей числа n. Если оно делится на число вида $4k-1$, то $\math Z_2$ отщепляется, поскольку отщепляется от $\math Z_{p^k}$.
Видимо заклинило на вопросе, в котором это свойство выполнялось, вот и заклинило.

[maxal]

Профессор Снэйп в сообщении #172243 писал(а):

Вот берём кольцо $\mathbb{Z}_n$ для произвольного натурального $n$. Среди элементов этого кольца есть ровно $\varphi(n)$ таких, которые обратимы в нём; они образуют мультипликативную абелеву группу. Вопроса два.

1) Есть ли какое-нибудь стандартное обозначение для этой группы?

Если мне не изменяет память, стандартное обозначение $U(\mathbb{Z}_n)$. Да и вообще группа единиц (т.е. обратимых элементов) любого кольца $K$ обозначается $U(K)$. Обозначение $K^*$ обычно обозначает мультипликативную полугруппу ненулевых элементов кольца $K$, что вообще говоря совпадает с $U(K)$ только если $K$ является полем.

[maxal]

По поводу же структуры группы $U(\mathbb{Z}_m)$ - см., например,
http://www.mathreference.com/num-mod,unm.html
http://marauder.millersville.edu/~biken ... unitzn.pdf
http://feyzioglu.boun.edu.tr/book/chapter2/ch2(12).pdf
и т.п.