подскажите с теор вером

[MK1]

Дайте, пожалуйста, какую-нибудь подсказку как показать, что если последовательность одинаково распределенных случайных величин $\xi_n \to 1 по вероятности, то и обратная величина $\frac 1 \xi_n \to 1$ по вероятности.

[Taras]

можна леммой Рисса.
Или применить теорему: $\xi_n$ cходится по вероятности к$\xi$ тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность $\xi_{n(k)}$ содержит в себе сходящуюся п.н. к $\xi$ подпоследовательность.

[MK1]

Спасибо большое, сейчас как раз качаю книгу, в которой должна быть эта лемма.

Добавлено спустя 24 минуты 39 секунд:

да...видимо, я что-то не то скачал. Там какая-то странная лемма Рисса. Формулировка такая: если существуют $m$-положительные члены, то их сумма положительна. Еще я видел лемму Рисса о восходящем солнце, но это ведь из области функ анализа...

[--mS--]

Вообще-то когда такие задачи дают, их дают ровно для того, чтобы студент тренировался в технике простейших вероятностных рассуждений, а не в применении каких-то теорем. Т.е. чтобы доказывал требуемое по определению.

Если очень хочется применить какую-нибудь теорему, докажите, что если $\xi_n \buildrel p \over \to c=\textrm{const}$ и функция $g$ непрерывна в точке $c$, то $g(\xi_n) \buildrel p \over \to g(c)$.

Но доказать требуемый факт по определению и интереснее, и полезнее.

[Taras]

я-не педагог, а студент.

[--mS--]

Taras писал(а):

я-не педагог, а студент.

Следует понимать как то, что Вам не интересно понять, в чём состоял вопрос топикстартера? Ну извините, коли так.

2MK1: Вы не хотите сообщить, как Вы пробовали доказать требуемый факт и на чём остановились? Если, конечно, действительно требовалось док-во по определению.

[Taras]

Цитата:

Следует понимать как то, что Вам не интересно понять, в чём состоял вопрос топикстартера? Ну извините, коли так.

нет следует понимать так: я написал идею решение этой задачи, как я решал ее сам.

[MK1]

Да, конечно, я просто только недавно начал делать...ну, у меня последовательность выглядела таким образом $\frac{{\xi_1}^2+...+{\xi_n}^2} n$. Если она сходится к 1, тогда по определению получится $P\{|\frac{{\xi_1}^2+...+{\xi_n}^2} n - 1|<\varepsilon_1\}=1$ и соответственно для обратной $P\{|\frac n{{\xi_1}^2+...+{\xi_n}^2} - 1|<\varepsilon_2\}=1$. Пусть {\xi_1}^2+...+{\xi_n}^2}=S_n, тогда $|S_n-n|<\varepsilon_1n$ и $|n-S_n|<\varepsilon_2S_n$. Если раскрыть модуль, то получится совокупность 2-х системм и вот на этом месте я пока остановился. По идее они ведь всегда должны выполняться...Если я это покажу, то и смогу доказать поставленую задачу. Идея вообще правильная?

[--mS--]

Это что за определения такие? Может, начать стоит с правильного определения сходимости по вероятности? И главный вопрос: Вам годится сформулированная выше теорема или требуется доказательство нужного факта по определению?

Просто, судя по тому, что Вы написали выше, доказать его по определению у нас с Вами не получится.

[MK1]

Стандартное определение:\xi_n сходится по вероятности к случайной величине \xi, если для любого \varepsilon>0 $P\{|\xi_n - \xi|<\varepsilon\}=1$, только в моей задаче \xi=1, а последовательность $\xi_n = \frac{{\xi_1}^2+...+{\xi_n}^2} n$.
А по поводу доказательства, мне не сказано, каким именно способом доказывать. Просто мне вначале показалось, что по определению не оч сложно будет...

[--mS--]

MK1 писал(а):

Стандартное определение:\xi_n сходится по вероятности к случайной величине \xi, если для любого \varepsilon>0 $P\{|\xi_n - \xi|<\varepsilon\}=1$

Это не определение сходимости по вероятности, а определение равенства $\xi_n=\xi$ с вероятностью 1.