Почему градиент показывает направление наискорейшего возраст

[undeddy]

Не совсем понимаю, почему градиент показывает направление наискорейшего возрастания некоторой величины. К примеру, если взять трехмерное пространство, то градиент можно интерпретировать как радиус-вектор, показывающий, в каком направлении быстрее всего возрастает фукнция? Но ведь градиент зависит от точки, в которой берутся частные производные...

[TOTAL]

undeddy писал(а):

Не совсем понимаю, почему градиент показывает направление наискорейшего возрастания некоторой величины.

Используя градиент функции, запишите здесь производную функции в заданном направлении.

[Brukvalub]

undeddy в сообщении #171141 писал(а):

градиент можно интерпретировать как радиус-вектор, показывающий, в каком направлении быстрее всего возрастает фукнция?

Нет, это не радиус-вектор.

[nestoklon]

Патамушта градиент -- это не вектор.
Это векторное поле или, наверное даже правильнее, правило, по которому получается векторное поле из скалярного.

[undeddy]

Производная по направлению вектора l будет равна скалярному произведению (grad(f), l). Тем не менее, все равно никак не доходит, почему градиент показывает направление наибыстрейшего возрастания.

P.S. 'Направление' в каком смысле? Если при фиксированной точке градиент будет отличаться от радиус-вектора точки с координатами в виде частных производных, то что имеется в виду под высказыванием 'показывает направление'? (К примеру, в трехмерном случае функции 2-х переменных.)

Добавлено спустя 3 минуты 16 секунд:

nestoklon писал(а):

Патамушта градиент -- это не вектор.
Это векторное поле или, наверное даже правильнее, правило, по которому получается векторное поле из скалярного.

Можно ли обойтись без физических терминов?

[Brukvalub]

undeddy в сообщении #171158 писал(а):

что имеется в виду под высказыванием эпоказывает направление?

Если начало ненулевого вектора градиента поместить в исследуемую точку области определения функции, то в направлении этого вектора дифференцируемая функция имеет наибольшую производную по направлению, т.е. имеет наибольшую скорость роста.

nestoklon в сообщении #171156 писал(а):

Патамушта градиент -- это не вектор.

Это тоже верно, если понаблюдать за тензорным законом преобразования координат градиента. Он является ко-вектором.А слова "Патамушта" в русском языке вообще не наблюдается.

[TOTAL]

undeddy писал(а):

Производная по направлению вектора l будет равна скалярному произведению (grad(f), l). Тем не менее, все равно никак не доходит, почему градиент показывает направление наибыстрейшего возрастания.

Для какого вектора l скалярное произведение (grad(f), l) будет максимальным?

[undeddy]

-> Который образует с градиентом угол в 0 градусов, т.е. совпадает с ним по направлению. Вроде, потихоньку начинает доходить.
Правильно ли я понял, что при соответствующих предположениях относительно дифференцируемости функции, градиент в каждой точке той части области определения этой функции, где выполнены указанные предположения, показывает, в каком направлении функция будет наиболее быстро расти?

P.S. Для понимания: можно ли считать производную по направлению величиной, показывающей, как изменится значение функции при бесконечно малом изменении аргументов в направлении заданного вектора?

Градиент, в итоге, не обращаясь к физике, есть определенное отображение множества точек в соответствующее множество векторов?

Есть ли обощение понятия градиента на случай, если функция не будет дифференцируемой?

[PAV]

В каждой точке пространства значение градиента свое.

Вспомните, что такое дифференциал.

$f(x+\Delta) - f(x) = (\mathop{\rm grad} f, \Delta) + \bar o(|\Delta|)$

(здесь $x$ и $\Delta$ - вектора, градиент берется в точке $x$)

Если зафиксировать длину смещения $|\Delta|$, то при достаточно малых значениях этого смещения, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, приращение будет максимально, когда $\Delta$ пропорционально (сонаправлено) вектору градиента. В противоположном же направлении движения приращение будет минимально, т.е. функция будет быстрее всего убывать.

[Brukvalub]

undeddy в сообщении #171168 писал(а):

Правильно ли я понял, что при соответствующих предположениях относительно дифференцируемости функции, градиент в каждой точке той части области определения этой функции, где выполнены указанные предположения, показывает, в каком направлении функция будет наиболее быстро расти?

Вы даже могли об этом прочесть:

Brukvalub в сообщении #171160 писал(а):

Если начало ненулевого вектора градиента поместить в исследуемую точку области определения функции, то в направлении этого вектора дифференцируемая функция имеет наибольшую производную по направлению, т.е. имеет наибольшую скорость роста.

undeddy в сообщении #171168 писал(а):

P.S. Для понимания: можно ли считать производную по направлению величиной, показывающей, как изменится значение функции при бесконечно малом изменении аргументов в направлении заданного вектора?

Примерно так.

undeddy в сообщении #171168 писал(а):

Градиент, в итоге, не обращаясь к физике, есть определенное отображение множества точек в соответствующее множество векторов?

Да.

undeddy в сообщении #171168 писал(а):

Есть ли обощение понятия градиента на случай, если функция не будет дифференцируемой?

Есть, см., например, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%B1%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB

[TOTAL]

undeddy писал(а):

Правильно ли я понял, что при соответствующих предположениях относительно дифференцируемости функции, градиент в каждой точке той части области определения этой функции, где выполнены указанные предположения, показывает, в каком направлении функция будет наиболее быстро расти?

Да.

undeddy писал(а):

P.S. Для понимания: можно ли считать производную по направлению величиной, показывающей, как изменится значение функции при бесконечно малом изменении аргументов в направлении заданного вектора?

Да.

undeddy писал(а):

Градиент, в итоге, не обращаясь к физике, есть определенное отображение множества точек в соответствующее множество векторов?

Не могу точно сказать, что принято понимать под градиентом. Я связываю понятие градиент с линейным оператором, который появляется при приближении функции. Функция (нескольких независимых переменных) может быть не обязательно скалярной. В скалярном случае действие этого линейного оператора на приращение аргумента можно представить как скалярное произведение некоторого вектора (который и называют градиентом) и приращения.

undeddy писал(а):

Есть ли обощение понятия градиента на случай, если функция не будет дифференцируемой?

Это то же самое, что спрашивать о наклоне графика скалярной функции одного переменного в точке излома функции.

[nestoklon]

undeddy в сообщении #171158 писал(а):

Можно ли обойтись без физических терминов?

Там не было ни одного физического термина. Термин "векторное поле" вполне себе математический.

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

Brukvalub в сообщении #171160 писал(а):

Это тоже верно, если понаблюдать за тензорным законом преобразования координат градиента.

А например при сдвигах он как себя ведёт? Как вектор из $\mathbb{R}_n$?

[Brukvalub]

nestoklon в сообщении #171187 писал(а):

А например при сдвигах он как себя ведёт? Как вектор из $\mathbb{R}_n$?

При каких сдвигах?

[nestoklon]

Brukvalub в сообщении #171190 писал(а):

При каких сдвигах?

Берём функцию в $\mathbb{R}_n$ и сдвигаем на некоторый вектор. Что происходит с градиентом?

[Brukvalub]

nestoklon в сообщении #171191 писал(а):

Берём функцию в $\mathbb{R}_n$ и сдвигаем на некоторый вектор.

К своему стыду, я не умею сдвигать функцию на вектор.