2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Слабая и равномерная сходимости
Сообщение24.12.2008, 14:23 


29/05/07
79
Известно, что последовательность $\{F_n\}$ функций распределений слабо сходится к непрерывной функции распределения $F$ (то есть $\forall x\in\mathbb{R}\;\lim\limits_{n\to\infty}F_{n}(x)=F(x)$).
Доказать, что сходимость последовательности является равномерной.

У меня не получается доказать, что сходимость будет равномерной на любом конечном отрезке (то, что на "краях" числовой прямой всё равномерно мало, я доказал).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2008, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Докажем, что при сформулированных условиях сходимость последовательности $\{F_n\}$ к $F$ будет равномерной на любм фиксированном отрезке \[[a\;;\;b]\]. Функция $F$ непрерывна на \[[a\;;\;b]\], значит, равномерно нпрерывна на нем. Для произвольного \[\varepsilon  > 0\] выберем \[\delta  > 0\] из опредления равномерной непрерывности и разобъем отрезок \[[a\;;\;b]\] точками \[x_1  = a\;,\;x_2 \;,.....,\;x_m  = b\] так, чтобы диаметр разбиения был меньше найденного \[\delta. Тперь отыщем такой натуральный номер N , для которого при всех \[
n > N\] во всех точках найденного разбиения выполняется нравенство \[\left| {F_n (x) - F(x)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}\]. Теперь докажите, опираясь на монотонность ф-ции распределения, что при \[n > N\] во всех точках отрезка будет верно неравенство \[\left| {F_n (x) - F(x)} \right| < \varepsilon

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2008, 18:38 


29/05/07
79
Возьмем произвольное $x\in [a,b].$ Найдется $i\in\{1,\ldots,m-1\}$ такое, что $x\in[x_{i},x_{i+1}].$ Имеем:
$$
|F_{n}(x)-F(x)|=|F_{n}(x)-F(x_i)+F(x_i)-F(x)|\leqslant |F_{n}(x)-F(x_i)|+\frac{\varepsilon}{3}
$$
Покажем, опираясь на монотонность функции распределения, что $|F_{n}(x)-F(x_i)|\leqslant 2\varepsilon/3.$
Действительно, если $|F_{n}(x)-F(x_i)|=F_{n}(x)-F(x_i),$ то в силу монотонности
$$
F_{n}(x)-F(x_i)\leqslant F_{n}(x_{i+1})-F(x_{i+1})+F(x_{i+1})-F(x_i)\leqslant 2\varepsilon/3.
$$
Если же $|F_{n}(x)-F(x_i)|=F(x_i)-F_{n}(x),$ то
$$
F(x_i)-F_{n}(x)\leqslant F(x_i)-F_{n}(x_i)\leqslant \varepsilon/3.
$$

Наверное, всё, что я написал, можно и короче оформить. Но мне и так сойдёт.

Огромное Вам спасибо, Brukvalub!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.12.2008, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
MaхVT в сообщении #170882 писал(а):
Наверное, всё, что я написал, можно и короче оформить. Но мне и так сойдёт.
Можно и покороче, но и так - правильно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group