Докажем, что при сформулированных условиях сходимость последовательности

к

будет равномерной на любм фиксированном отрезке
![\[[a\;;\;b]\] \[[a\;;\;b]\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/4/804471be40b4d288531e47c539392cf482.png)
. Функция

непрерывна на
![\[[a\;;\;b]\] \[[a\;;\;b]\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/4/804471be40b4d288531e47c539392cf482.png)
, значит, равномерно нпрерывна на нем. Для произвольного
![\[\varepsilon > 0\] \[\varepsilon > 0\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/7/7e7f7d1131d40da4b85c2a3adfb5f93982.png)
выберем
![\[\delta > 0\] \[\delta > 0\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/e/00e80476333aed4af3d1a12820bc635282.png)
из опредления равномерной непрерывности и разобъем отрезок
![\[[a\;;\;b]\] \[[a\;;\;b]\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/4/804471be40b4d288531e47c539392cf482.png)
точками
![\[x_1 = a\;,\;x_2 \;,.....,\;x_m = b\] \[x_1 = a\;,\;x_2 \;,.....,\;x_m = b\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/4/df4af0bdd832ff8052009910c252e40c82.png)
так, чтобы диаметр разбиения был меньше найденного

. Тперь отыщем такой натуральный номер N , для которого при всех
![\[
n > N\] \[
n > N\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/9/4293f8df8ca386ca397614f2aab652c982.png)
во всех точках найденного разбиения выполняется нравенство
![\[\left| {F_n (x) - F(x)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}\] \[\left| {F_n (x) - F(x)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/a/98afb2f85f1c8ca4bca556f8a176527c82.png)
. Теперь докажите, опираясь на монотонность ф-ции распределения, что при
![\[n > N\] \[n > N\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/4/814361bab4dd7e43e5bb73b6609d03b382.png)
во всех точках отрезка будет верно неравенство
