Слабая и равномерная сходимости

[MaхVT]

Известно, что последовательность $\{F_n\}$ функций распределений слабо сходится к непрерывной функции распределения $F$ (то есть $\forall x\in\mathbb{R}\;\lim\limits_{n\to\infty}F_{n}(x)=F(x)$).
Доказать, что сходимость последовательности является равномерной.

У меня не получается доказать, что сходимость будет равномерной на любом конечном отрезке (то, что на "краях" числовой прямой всё равномерно мало, я доказал).

[Brukvalub]

Докажем, что при сформулированных условиях сходимость последовательности $\{F_n\}$ к $F$ будет равномерной на любм фиксированном отрезке

\[[a\;;\;b]\]

. Функция $F$ непрерывна на

\[[a\;;\;b]\]

, значит, равномерно нпрерывна на нем. Для произвольного

\[\varepsilon > 0\]

выберем

\[\delta > 0\]

из опредления равномерной непрерывности и разобъем отрезок

\[[a\;;\;b]\]

точками

\[x_1 = a\;,\;x_2 \;,.....,\;x_m = b\]

так, чтобы диаметр разбиения был меньше найденного \[\delta. Тперь отыщем такой натуральный номер N , для которого при всех

\[ n > N\]

во всех точках найденного разбиения выполняется нравенство

\[\left| {F_n (x) - F(x)} \right| < \frac{\varepsilon }{3}\]

. Теперь докажите, опираясь на монотонность ф-ции распределения, что при

\[n > N\]

во всех точках отрезка будет верно неравенство \[\left| {F_n (x) - F(x)} \right| < \varepsilon

[MaхVT]

Возьмем произвольное $x\in [a,b].$ Найдется $i\in\{1,\ldots,m-1\}$ такое, что $x\in[x_{i},x_{i+1}].$ Имеем:

$$ |F_{n}(x)-F(x)|=|F_{n}(x)-F(x_i)+F(x_i)-F(x)|\leqslant |F_{n}(x)-F(x_i)|+\frac{\varepsilon}{3} $$

Покажем, опираясь на монотонность функции распределения, что $|F_{n}(x)-F(x_i)|\leqslant 2\varepsilon/3.$
Действительно, если $|F_{n}(x)-F(x_i)|=F_{n}(x)-F(x_i),$ то в силу монотонности

$$ F_{n}(x)-F(x_i)\leqslant F_{n}(x_{i+1})-F(x_{i+1})+F(x_{i+1})-F(x_i)\leqslant 2\varepsilon/3. $$

Если же $|F_{n}(x)-F(x_i)|=F(x_i)-F_{n}(x),$ то

$$ F(x_i)-F_{n}(x)\leqslant F(x_i)-F_{n}(x_i)\leqslant \varepsilon/3. $$

Наверное, всё, что я написал, можно и короче оформить. Но мне и так сойдёт.

Огромное Вам спасибо, Brukvalub!

[Brukvalub]

MaхVT в сообщении #170882 писал(а):

Наверное, всё, что я написал, можно и короче оформить. Но мне и так сойдёт.

Можно и покороче, но и так - правильно.