Комплексные числа, уравнение 9-й степени

[Усталый]

Никитос писал(а):

я чесно так и не понял смысл комлпексных чисел, хоть и изучил их все, модет кто нибудь объяснить либо дать ссылку

В физике, например, используются (задачи на колебательное движение).

[ewert]

Никитос в сообщении #169775 писал(а):

я чесно так и не понял смысл комлпексных чисел, хоть и изучил их все, модет кто нибудь объяснить либо дать ссылку

Вот типичный пример, и вполне жизненный.

Берём колебательный контур, составленный из индуктивности $L$, с активным сопротивлением обмотки $R$ и конденсатором $C$.

И интересуют нас процессы, которые там могут протекать. А протекают там (согласно теории дифуравнений) экспоненты типа $e^{\lambda t}$. Где $\lambda$'ы определяются как корни характеристического уравнения:

$$L\,\lambda^2+R\,\lambda+{1\over C}=0.$$

И если дискриминант положителен -- то все вроде и счастливы. Да только вот беда: наибольший практический интерес представляет как раз случай, когда сопротивление очень мало и, соотв., дискриминант отрицателен.

И что ж тут делать: сказать, что нет, мол, решений и в тую его, это уравнение?

Сказать-то можно, да только вот уравнение от этого никуда не исчезнет, а уж исходная задача -- и тем более.

Так что никуда не денешься: придётся придавать корням этого уравнения хоть какой-то смысл, а значит -- вводить комплексные числа.

[AndreyXYZ]

$$x+2=(x-2)e^{i \frac{2 \pi k}{9}}, \; k=\overline{0,8} $$

$$x+2=xe^{i \frac{2 \pi k}{9}}-2e^{i \frac{2 \pi k}{9}}$$

$$x=\frac{2(1+e^{i \frac{2 \pi k}{9}})}{e^{i \frac{2 \pi k}{9}}-1}$$

1. $k=0$: нет решений
2. $k=1$:

$$e^{i \frac{2 \pi \cdot 1}{9}}=\cos \frac{2 \pi}{9}+i \sin \frac{2 \pi}{9}$$

Подставляем в формулу для $x$, домножаем на комплекстно-сопряженное и т.д.
3. $k=2:$ $\ldots$

[xaxa3217]

Никитос писал(а):

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

я чесно так и не понял смысл комлпексных чисел, хоть и изучил их все, модет кто нибудь объяснить либо дать ссылку

Есть один интересный пример из книг В. Босса :
Задача: Пусть $a_{n+2} = 2a_{n+1}-2a_n, n > 0$, $a_1 = 1, a_2 = 1$. Требуется найти выражение $a_n$ в явном виде.

Решение: Будем искать выражение $a_n$ в виде $c_1x_1^n+c_2x_2^n$, тогда :
$c_1x_1^{n+2}+c_2x_2^{n+2} = 2(c_1x_1^{n+1}+c_2x_2^{n+1}) - 2(c_1x_1^{n}+c_2x_2^{n})$ (1)
будем искать $x_1$ и $x_2$ предполагая, что :
$c_ix_i^{n+2} = 2c_ix_i^{n+1} - 2c_ix_i^{n}, i=1,2$
в итоге, после сокращения на $c_{i}x_{i}^n$ получается квадратное уравнение с двумя комплексными корнями, таким образом равенству (1), с учетом начальных условий, будут удовлетворять $a_n = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2}$, или в тригонометрическом виде (после применения формул возведения в натуральную степень):
$a_n = \sqrt{2}^{n}\cos{\frac{\pi{n}}{4}}$

Получится ли у Вас решить эту задачу не выходя за просторы $\mathbb{R}$ ?

[AndreyXYZ]

xaxa3217 в сообщении #169913 писал(а):

Получится ли у Вас решить эту задачу не выходя за просторы $\mathbb{R}$ ?

Решение с помощью производящих функций даёт:

$$a_n= \frac{-1}{2 \sqrt{3}} \Big[(1+ \sqrt{3})^{n+1}-(1-\sqrt{3})^{n+1}\Big]$$

К сожалению, выражение в скобках у меня получается упростить только методом бисекции степенного ряда, который использует комплексные числа.

[ewert]

xaxa3217 в сообщении #169913 писал(а):

получается квадратное уравнение с двумя комплексными корнями

это как это характеристическое уравнение $q^2=2q+2$ может иметь комплексныя корни?...

[xaxa3217]

Прошу прощения, перепутал плюс с минусом, а дальше забыл на два еще домножить:) В предыдущем сообщении все исправил.

[B1ackFoX]

При записи числа в тригонометрической форме НЕЛЬЗЯ вычислять значения $ \cos{\varphi}$ и $ \sin{\varphi}$ , иначе мы потеряем явное указание аргумента $ z$ и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол $ {\varphi}$ получился отрицательным, то знак "$ -$ " НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.

Чем дальше в лес тем больше дров. Может ещё какие то "ямки" есть?

[xaxa3217]

Я Вас не понимаю. А при записи $z = a+bi$ $a$ и $b$ тоже нельзя явно вычислять? Все можно. Дело в том, что ЕСЛИ $z = \cos{\phi}+i\sin{\phi}$, то $z^n = \cos{n\phi}+i\sin{n\phi}, n \in \mathbb{Z}$. Как видно в выражении $z^n$ данные $\cos{\phi}$ и $\sin{\phi}$ как числа в явном виде не используются вовсе. Так что никаких ям здесь не наблюдается.

Добавлено спустя 1 час 15 минут 7 секунд:

2AndreyXYZ Вообще этот вопрос задавался автору темы, с целью понимания того, что тфкп изучает нечто большее $\mathbb{R}^2$. Да в общем-то и ответа на него не ждал Я пробовал применить метод производящих функций, но когда пришлось выполнять разложение $\frac{1-x}{2x^2-2x+1}$ сразу забил на это дело, по мне вышеприведенное решение куда предпочтительнее.

[AndreyXYZ]

xaxa3217 в сообщении #170230 писал(а):

Да в общем-то и ответа на него не ждал Smile Я пробовал применить метод производящих функций, но когда пришлось выполнять разложение $\frac{1-x}{2x^2-2x+1}$ сразу забил на это дело

А я полтора часа решал. Исписал 5 страниц