Движение точки М на сфере.

[EXploit]

Доброго времени суток.

Положение точки в пространстве можно определить расстоянием r, углом φ между плоскостью XOZ и плоскостью, проходящей через точку М и ось OZ, и углом θ между горизонтальной плоскостью XOY и прямой ОМ . Координаты r, φ и θ, определяющие положение точки М в трехмерном пространстве, называются сферическими координатами. При движении точки М в пространстве в общем случае ее сферически координаты r, φ и θ изменяются с течением времени (см. рис.). Уравнение положения точки в пространстве:

x=r cosθ cosφ
y=r cosθ sinφ
z=r sinθ


Необходимо найтти уравнение винтового движения точки М на сфере.

Заранее благодарен.

[ewert]

ну переход к сферическим координатам Вы добросовестно привели (правда, азимутальный угол $\theta$ чаще принято отсчитывать от вертикальной оси, а не от горизонтальной плоскости, ну да не суть).

Осталось сообщить, что понимается под винтовым движением. И задача, наконец-то, будет поставлена!

[EXploit]

ewert писал(а):

что понимается под винтовым движением.

Под винтовым движением понимается - сложное движение точки, состоящее из поступательного (вдоль оси) и одновременного вращательного (вокруг оси) движения. Которое характиризуются шагом винтовой линии (H) и углом наклона винтовой линии (w).

[TOTAL]

EXploit писал(а):

ewert писал(а):

что понимается под винтовым движением.

Под винтовым движением понимается - сложное движение точки, состоящее из поступательного (вдоль оси) и одновременного вращательного (вокруг оси) движения. Которое характиризуются шагом винтовой линии (H) и углом наклона винтовой линии (w).

Пожалуйста, приведите уравнение винтовой линии в декартовой системе координат.
Затем сферические координаты выразите через декартовы.

[Yu_K]

Винтовая линия обычно строится на пов-ти цилиндра, может вам нужна локсодрома? Или поясните - как вы определите угол наклона, который вы хотите сделать постоянным.

[EXploit]

TOTAL писал(а):

Пожалуйста, приведите уравнение винтовой линии в декартовой системе координат.
Затем сферические координаты выразите через декартовы.

Уравнение винтовой линии в декартовой системе координат в параметрической форме выглядит:

x=acoswt
y=asinwt
z=vt


или

x=acosφ
y=asinφ
z=bφ


φ=ωt
b=ν/ω=h/2π
где a - радиус цилиндра, на котором расположена линия;
h- шаг винтовой линии.

Yu_K писал(а):

Винтовая линия обычно строится на пов-ти цилиндра, может вам нужна локсодрома? Или поясните - как вы определите угол наклона, который вы хотите сделать постоянным.

Исходя из анализа вопроса, мне известно что винтовая линия на сфере может быть двух вариантов:
1) H=const, W=var;
2) H=var, W=const.

Меня интересует только 2 вариант.
В этом случае, на оси сферы H->0.

А угол, я думаю можно определить, проекцией винтовой линии на оси XOZ или YOZ.

[Yu_K]

Предположим вы нашли в точке пов-ти сферы (x_0,y_0,z_0) касательный вектор N ортогональный вектору (x_0,y_0,z_0),который является одновременно касательным вектором к искомой вами линии - какой у него будет угол - как Вы его меряете? Или если мерить расстояние между витками линии - то это тоже не такой простой вопрос - или вы хотите просто задать линейный рост координаты z вдоль линии, но тогда надо задавать независимую переменную - например длина t вашей линии и z(t) - линейно растет . Откуда такая задача - вы сами ее придумали - или это из какого-то задачника?
А вобще линия на сфере может быть описана уравнениями -
x(t)=a*cos(w(t)) *cos(u(t))
y(t)=a*sin(w(t)) *cos(u(t))
z(t)=a*sin(u(t))

[EXploit]

Yu_K писал(а):

Откуда такая задача - вы сами ее придумали - или это из какого-то задачника?
А вобще линия на сфере может быть описана уравнениями -
x(t)=a*cos(w(t)) *cos(u(t))
y(t)=a*sin(w(t)) *cos(u(t))
z(t)=a*sin(u(t))

Задачу сформулировал сам, нужна для одного проекта.

Насчет формулы: приведенная Вами уравнение являются уравнением для винтовой линии?

[Yu_K]

Цитата:

Насчет формулы: приведенная Вами уравнение являются уравнением для винтовой линии?

Нет конечно - я не знаю, что такое винтовая линия на сфере - надо сначала определиться с этим понятием, которое вы изобрели. А это просто уравнение некоторой линии.



пример - линия на пов-ти сферы (к теореме теннисном мяче http://mathworld.wolfram.com/TennisBallTheorem.html )



закнутая локсодрома на торе.

[Dimoniada]

Красиво =*)

[vvvv]

Может Вы имели ввиду нечто такое?

[EXploit]

Yu_K писал(а):

Нет конечно - я не знаю, что такое винтовая линия на сфере - надо сначала определиться с этим понятием, которое вы изобрели.

Попробую объяснить что же такое винтовая линия на сфере: В машиностроении есть такой металлорежущий инструмент как бор-фреза (концевой фасонный инструмент). В этом инструменте с центра в торцовой части исходят витки по винтовой линии (см. рис.).

Так вот. Поставлена задача: Описать движение дискового режущего инструмента по винтовой линии на сферической бор-фрезе. Схема резания приведена ниже.

Yu_K писал(а):

пример - линия на пов-ти сферы (к теореме теннисном мяче http://mathworld.wolfram.com/TennisBallTheorem.html )

Вот это похоже на то как я представляю винтовую линию на сфере.
Только линия не замкнута и исходит от оси сферы из отдного торца до другого (противоположного).

vvvv писал(а):

Может Вы имели ввиду нечто такое?

Это локсодрома на сфере... тут один виток. В нашем случае несколько витков (например на бор-фрезе их может быть 10, 12, 14, 16, 18) А также винтовая канавка на бор-фрезе полный оборот на сфере не делает.

[Yu_K]

Цитата:

исходит от оси сферы из отдного торца до другого (противоположного)

- не совсем понятно что это значит. Несколько линий со сдвигом по угловой координате не сложно нарисовать. Видимо есть у них какое-то свойство, которому они должны удовлетворять - надо понять что вам нужно. Как меняется угол между осью z и касательным вектором к искомой линии в зависимости от высоты точки z (считаем что линии направлены от южного полюса к северному и ось z направлена ввверх)?

[vvvv]

Может так?


Добавлено спустя 6 минут 8 секунд:

[Jazzman]

vvvv писал(а):

Может Вы имели ввиду нечто такое?

Это MathCad?
А можно попросить файлик с кодом или сам код?
Осваиваю понемногу MathCad, заодно хотелось бы и локсодрому пощупать
Спасибо!